已知抛物线y=ax2+bx(其中a0)在第一象限内与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S，问当a，b为何值时，S最大?最大值是多少?

admin2017-05-31 47

问题已知抛物线y=ax²+bx(其中a<0，b>0)在第一象限内与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S，问当a，b为何值时，S最大?最大值是多少?

选项

答案[*] 将方程①代入方程②得ax²+(b+1)x－5=0．其判别式必等于零，即△=(b+1) ²+20a=0，得 [*] 得b=3．因为，当0＜b＜3时，S’(b)＞0；当b＞3时，S’(b) ＜0．所以，当b=3时，S(b)取极大值，即最大值[*]

解析利用定积分求面积，容易得到其面积是a，b的函数S(a，b)，问题是如何求S(a，b)的最大值．因为抛物线与固定直线相切，所以a与b并非独立变量．利用相切的条件可求出它们之间的函数关系，于是将问题转化为一元函数求最值的问题．

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考研数学一

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