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设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm，若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k1，…，km，使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1一k1)β1+…+(λm一km)βm=0，则【 】
设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm，若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k1，…，km，使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1一k1)β1+…+(λm一km)βm=0，则【 】
admin
2015-09-12
75
问题
设有任意两个n维向量组α
1
，…，α
m
和β
1
，…，β
m
，若存在两组不全为零的数λ
1
，…，λ
m
和k
1
，…，k
m
，使(λ
1
+k
1
)α
1
+…+(λ
m
+k
m
)α
m
+(λ
1
一k
1
)β
1
+…+(λ
m
一k
m
)β
m
=0，则【 】
选项
A、α
1
，…，α
m
和β
1
，…，β
m
都线性相关．
B、α
1
，…，α
m
和β
1
，…，β
m
都线性无关．
C、α
1
+β
1
，…，α
m
+β
m
，α
1
一β
1
，…，α
m
一β
m
线性无关．
D、α
1
+β
1
，…，α
m
+β
m
，α
1
—β
1
，…，α
m
一β
m
线性相关．
答案
D
解析
由题设等式，得
λ
1
(α
1
+β
1
)+…+λ
m
(α
m
+β
m
)+k
1
(α
1
一β
1
)+…k
m
(α
m
一β
m
)=0且λ
1
，…，λ
m
，k
1
，…，k
m
不全为零，故向量组α
1
+β
1
，…，α
m
+β
m
，α
1
一β
1
，…，α
m
一β
m
线性相关。
本题主要考查向量组线性相关的定义．注意，本题备选项是关于“线性相关”或“线性无关”的结论，题设条件显然不能推出某组线性无关的结论，故只需考虑是哪个向量组线性相关，而题设等式又可整理成 (D)中向量的系数不全为零的线性组合等于零，即知(D)正确．当然也可举例说明(A)不对，排除(A)后就只有(D)正确了．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UqU4777K
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考研数学三
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