设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=3x12+ax22+3x32－4x1x2－8x1x3－4x2x3，其中－2是二次型矩阵A的一个特征值．用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换；

admin2016-04-29 115

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx=3x₁²+ax₂²+3x₃²－4x₁x₂－8x₁x₃－4x₂x₃，其中－2是二次型矩阵A的一个特征值．
用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换；

选项

答案[*]，由已知可得｜－2E－A｜=0[*]a=6．由｜λE－A｜=0[*] [*] [*](λ－7)(λ²－5λ－14)=0 [*]λ¹=λ²=7，λ³=－2．对于λ¹=λ²=7，(7E－A)x=0， [*]α₁=(1，－2，0)^T，α₂=(－1，0，1)^T．对于λ₃=－2，(－2E－A)x=0， [*]x₃=(2，1，2) 因为α₁，α₂不正交，由Schmidt正交化，有 [*]

解析

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