设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0.证明:至少存在一点ξ∈(0,1),使(1+ξ2)(aretan ξ)f’(ξ)=一1.

admin2019-04-22  37

问题 设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0.证明:至少存在一点ξ∈(0,1),使(1+ξ2)(aretan ξ)f’(ξ)=一1.

选项

答案令F(x)=ef(x)arctanx,x∈[0,1],则[*] 由定积分中值定理,存在[*],即F(x0)=F(1). 显然F(x)在[x0,1]上满足罗尔定理条件,故至少存在一点ξ∈(x0,1)[*](0,1),使F’(ξ)=0, 即 (1+ξ2)(arctan ξ)f’(ξ)=一1.

解析
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