2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵，α，β是线性无关的3维列向量，且A的秩r(A)=2，Aα=β，Aβ=α，则｜A+3E｜为( )

设A为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵，α，β是线性无关的3维列向量，且A的秩r(A)=2，Aα=β，Aβ=α，则｜A+3E｜为( )

admin2017-09-08  55
问题 设A为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵，α，β是线性无关的3维列向量，且A的秩r(A)=2，Aα=β，Aβ=α，则｜A+3E｜为(    )
选项 A、0．
B、6．
C、18．
D、24．
答案D
解析 本题考查用特征值计算抽象矩阵的行列式．先用特征值与特征向量的定义和r(A)求出抽象矩阵的特征值，再根据特征值与该矩阵行列式的关系计算行列式．
由于r(A)=2，所以λ=0是A的一个特征值，由Aα=β，Aβ=α，可得A(α+β)=α+β，A(α—β)=一(α－β)，而α，β线性无关，所以α+β≠0，α－β≠0，所以1，一1是A的另两个特征值，因此A的特征值为0，1，一1，于是A+3E的特征值是3，4，2，故｜A+3E｜=3×4×2=24．
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考研数学二

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