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某公司的甲、乙两厂生产同一种产品,月产量分别是x,y(千件),甲厂的月生产成本是C1=x2-2x+5(千元),乙厂的月生产成本是C2=y2+2y+3(千元).若要求该产品每月总产量为8千件,并使总成本最小,求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本.
某公司的甲、乙两厂生产同一种产品,月产量分别是x,y(千件),甲厂的月生产成本是C1=x2-2x+5(千元),乙厂的月生产成本是C2=y2+2y+3(千元).若要求该产品每月总产量为8千件,并使总成本最小,求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本.
admin
2021-08-14
16
问题
某公司的甲、乙两厂生产同一种产品,月产量分别是x,y(千件),甲厂的月生产成本是C
1
=x
2
-2x+5(千元),乙厂的月生产成本是C
2
=y
2
+2y+3(千元).若要求该产品每月总产量为8千件,并使总成本最小,求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本.
选项
答案
本题为求函数z=f(x,y)=x
2
+y
2
-2x+2y+8在条件x+y-8=0下的条件极值. 方法一:用拉格朗日乘数法 总成本f(x,y)=x
2
+y
2
-2x+2y+8, 约束条件φ(x,y)=x+y-8, 作辅助函数F(x,y)=x
2
+y
2
-2x+2y+8+λ(x+y-8). 令[*]解得x=5,y=3. 由于驻点(5,3)唯一,实际中确有最小值.所以当x=5,y=3时使总成本最小,最小成本为f(5,3)=38千元. 方法二:化条件极值为无条件极值 总成本为z=f(x,y)=x
2
+y
2
-2x+2y+8, 约束条件x+y-8=0, 将y=8-x代入f(x,y)中,得 z=x
2
+(8-x)
2
-2x+2(8-x)+8=2x
2
-20x+88 z
x
’=4x-20,令z
x
’=0,得x=5. 因为z
xx
"=4>0,所以x=5时z取极小值,又因为极值点唯一,所以x=5时,z取最小值,此时y=3,故x=5,y=3时,总成本最小.最小成本为:f(5,3)=38千元.
解析
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数学题库普高专升本分类
0
数学
普高专升本
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