2. 考研
  3. 设f(x)二阶连续可导，f(0)＝0，f’(0)＝1，且[xy(x＋y)一f(x)y]dx＋[f’(x)＋x2y]dy＝0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解．

设f(x)二阶连续可导，f(0)＝0，f’(0)＝1，且[xy(x＋y)一f(x)y]dx＋[f’(x)＋x2y]dy＝0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解．

admin2019-02-26  55
问题 设f(x)二阶连续可导，f(0)＝0，f’(0)＝1，且[xy(x＋y)一f(x)y]dx＋[f’(x)＋x2y]dy＝0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解．
选项
答案令P(x，y)＝xy(x＋y)一f(x)y，Q(x，y)＝f’(x)＋x2y，因为[xy(x＋y)一f(x)y]dx＋[f’(x)＋x2y]dy＝0为全微分方程，所以[*]，即f"(x)＋f(x)＝x2，解得f(x)＝C1cosx＋C2sinx＋x2一2，由f(0)＝0，f’(0)＝1得C1＝2，C2＝1， 所以f(x)＝2cosx＋sinx＋x2一2． 原方程为[xy2一(2cosx＋sinx)y＋2y]dx＋(一2sinx＋cosx＋2x＋x2y)dy＝0，整理得 (xy2dx＋x2ydy)＋2(ydx＋xdy)一2(ycosxdx＋sinxdy)＋(一ysinxdx＋cosxdy)＝0，即[*]， 原方程的通解为[*]x2y2＋2xy一2ysinx＋ycosx＝c．
解析
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考研数学一

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