2. 考研
  3. 设线性方程组 (Ⅰ)证明当a1，a2，a3，4两两不相等时，方程组无解； (Ⅱ)设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，并且β1=(-1，1，1)T和β2=(1，1，-1)T是两个解。求此方程组的通解。

设线性方程组 (Ⅰ)证明当a1，a2，a3，4两两不相等时，方程组无解； (Ⅱ)设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，并且β1=(-1，1，1)T和β2=(1，1，-1)T是两个解。求此方程组的通解。

admin2018-01-26  72
问题 设线性方程组

(Ⅰ)证明当a1，a2，a3，4两两不相等时，方程组无解；
(Ⅱ)设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，并且β1=(-1，1，1)T和β2=(1，1，-1)T是两个解。求此方程组的通解。
选项
答案(Ⅰ)增广矩阵的行列式是一个范德蒙德行列式，其值等于 [*] =(a2-a1)(a3-a1)(a4-a1)(a3-a2)(a4-a2)(a4-a2)， 于是，当a1，a2，a3，a4两两不同时，增广矩阵可逆，秩为4，而系数矩阵的秩为。因此，方程组无解。 (Ⅱ)由题设条件，则此时方程组为 [*] β1和β2都是特解，β1-β2=(-2，0，2)T是导出组的一个非零解。由β1(或β2)是解看出k≠0，从而系数矩阵 [*] 的秩为2，因此可知导出组的基础解系由一个非零向量构成，则β1-β2是导出组的基础解系。于是通解为 β1+c(β1-β2)，c为任意常数。
解析
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考研数学一

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