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设线性方程组 (Ⅰ)证明当a1,a2,a3,4两两不相等时,方程组无解; (Ⅱ)设a1=a3=k,a2=a4=-k(k≠0),并且β1=(-1,1,1)T和β2=(1,1,-1)T是两个解。求此方程组的通解。
设线性方程组 (Ⅰ)证明当a1,a2,a3,4两两不相等时,方程组无解; (Ⅱ)设a1=a3=k,a2=a4=-k(k≠0),并且β1=(-1,1,1)T和β2=(1,1,-1)T是两个解。求此方程组的通解。
admin
2018-01-26
67
问题
设线性方程组
(Ⅰ)证明当a
1
,a
2
,a
3
,
4
两两不相等时,方程组无解;
(Ⅱ)设a
1
=a
3
=k,a
2
=a
4
=-k(k≠0),并且β
1
=(-1,1,1)
T
和β
2
=(1,1,-1)
T
是两个解。求此方程组的通解。
选项
答案
(Ⅰ)增广矩阵的行列式是一个范德蒙德行列式,其值等于 [*] =(a
2
-a
1
)(a
3
-a
1
)(a
4
-a
1
)(a
3
-a
2
)(a
4
-a
2
)(a
4
-a
2
), 于是,当a
1
,a
2
,a
3
,a
4
两两不同时,增广矩阵可逆,秩为4,而系数矩阵的秩为。因此,方程组无解。 (Ⅱ)由题设条件,则此时方程组为 [*] β
1
和β
2
都是特解,β
1
-β
2
=(-2,0,2)
T
是导出组的一个非零解。由β
1
(或β
2
)是解看出k≠0,从而系数矩阵 [*] 的秩为2,因此可知导出组的基础解系由一个非零向量构成,则β
1
-β
2
是导出组的基础解系。于是通解为 β
1
+c(β
1
-β
2
),c为任意常数。
解析
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考研数学一
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