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设线性方程组 (Ⅰ)证明当a1，a2，a3，4两两不相等时，方程组无解； (Ⅱ)设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，并且β1=(-1，1，1)T和β2=(1，1，-1)T是两个解。求此方程组的通解。
设线性方程组 (Ⅰ)证明当a1，a2，a3，4两两不相等时，方程组无解； (Ⅱ)设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，并且β1=(-1，1，1)T和β2=(1，1，-1)T是两个解。求此方程组的通解。
admin
2018-01-26
107
问题
设线性方程组
(Ⅰ)证明当a
1
，a
2
，a
3
，
4
两两不相等时，方程组无解；
(Ⅱ)设a
1
=a
3
=k，a
2
=a
4
=-k(k≠0)，并且β
1
=(-1，1，1)
T
和β
2
=(1，1，-1)
T
是两个解。求此方程组的通解。
选项
答案
(Ⅰ)增广矩阵的行列式是一个范德蒙德行列式，其值等于 [*] =(a
2
-a
1
)(a
3
-a
1
)(a
4
-a
1
)(a
3
-a
2
)(a
4
-a
2
)(a
4
-a
2
)， 于是，当a
1
，a
2
，a
3
，a
4
两两不同时，增广矩阵可逆，秩为4，而系数矩阵的秩为。因此，方程组无解。 (Ⅱ)由题设条件，则此时方程组为 [*] β
1
和β
2
都是特解，β
1
-β
2
=(-2，0，2)
T
是导出组的一个非零解。由β
1
(或β
2
)是解看出k≠0，从而系数矩阵 [*] 的秩为2，因此可知导出组的基础解系由一个非零向量构成，则β
1
-β
2
是导出组的基础解系。于是通解为 β
1
+c(β
1
-β
2
)，c为任意常数。
解析
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考研数学一
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