已知以2π为周期的周期函数f(χ)在(－∞，＋∞)上有二阶导数，且f(0)＝0．设F(χ)＝(sinχ－1)2)f(χ)，证明使得F〞(χ0)＝0．

admin2016-10-21 76

问题已知以2π为周期的周期函数f(χ)在(－∞，＋∞)上有二阶导数，且f(0)＝0．设F(χ)＝(sinχ－1)²)f(χ)，证明

使得F〞(χ₀)＝0．

选项

答案显然F(0)＝F([*])＝0，于是由罗尔定理知，[*]，使得，F′(χ₁)＝0．又 F′(χ)＝2(sinχ－1)f(χ)＋(sinχ－1)²f′(z)， [*] 对F′(χ)应用罗尔定理，由于F(χ)二阶可导，则存在[*]，使得F″′(χ₀^*)＝0．注意到F(χ)以2π为周期，F′(χ)与F〞(χ)均为以2π为周期的周期函数，于是[*]χ₀＝2π＋χ₀^*，即χ₀∈(2π，[*])，使得 F〞(χ₀)=F〞(χ₀^*)＝0．

解析

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