已知以2π为周期的周期函数f(χ)在(-∞,+∞)上有二阶导数,且f(0)=0.设F(χ)=(sinχ-1)2)f(χ),证明使得F〞(χ0)=0.

admin2016-10-21  26

问题 已知以2π为周期的周期函数f(χ)在(-∞,+∞)上有二阶导数,且f(0)=0.设F(χ)=(sinχ-1)2)f(χ),证明使得F〞(χ0)=0.

选项

答案显然F(0)=F([*])=0,于是由罗尔定理知,[*],使得,F′(χ1)=0.又 F′(χ)=2(sinχ-1)f(χ)+(sinχ-1)2f′(z), [*] 对F′(χ)应用罗尔定理,由于F(χ)二阶可导,则存在[*],使得F″′(χ0*)=0. 注意到F(χ)以2π为周期,F′(χ)与F〞(χ)均为以2π为周期的周期函数,于是[*]χ0=2π+χ0*,即χ0∈(2π,[*]),使得 F〞(χ0)=F〞(χ0*)=0.

解析
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