2. 考研
  3. 设函数f(x)在[a,b]上具有连续的二阶导数，证明：在(a,b)内存在一点ξ，使得 ∫abf(x)dx=(b－a)(b－a)3f"(ξ) ①

设函数f(x)在[a,b]上具有连续的二阶导数，证明：在(a,b)内存在一点ξ，使得 ∫abf(x)dx=(b－a)(b－a)3f"(ξ) ①

admin2022-10-08  80
问题 设函数f(x)在[a,b]上具有连续的二阶导数，证明：在(a,b)内存在一点ξ，使得
∫abf(x)dx=(b－a)(b－a)3f"(ξ)        ①
选项
答案设F(x)=∫axf(t)dt,则F’(x)=f(x),∫abf(x)dx=F(b)－F(a)，对任意x∈[a,b]，将F(x)在x0=[*]处展开成泰勒公式 [*] 其中ξ在x与[*]之间，注意到 F’(x)=f(x),F"(x)=f’(x),F"’(x)=f"(x) 并将x=b,x=a分别代入②式并相减，得 [*] 并将ξ1，ξ2分别在[*]与b,a与[*]之间。 通常f"(ξ1)≠f"(ξ2),不妨设f"(ξ1)＜f"(ξ2),因而 [*] 于是∫abf(x)dx=(b－a)[*](b－a)3f"(ξ)，其中ξ∈(a,b).
解析
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考研数学三

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