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设函数f(x)在[a,b]上具有连续的二阶导数,证明:在(a,b)内存在一点ξ,使得 ∫abf(x)dx=(b-a)(b-a)3f"(ξ) ①
设函数f(x)在[a,b]上具有连续的二阶导数,证明:在(a,b)内存在一点ξ,使得 ∫abf(x)dx=(b-a)(b-a)3f"(ξ) ①
admin
2022-10-08
56
问题
设函数f(x)在[a,b]上具有连续的二阶导数,证明:在(a,b)内存在一点ξ,使得
∫
a
b
f(x)dx=(b-a)
(b-a)
3
f"(ξ) ①
选项
答案
设F(x)=∫
a
x
f(t)dt,则F’(x)=f(x),∫
a
b
f(x)dx=F(b)-F(a),对任意x∈[a,b],将F(x)在x
0
=[*]处展开成泰勒公式 [*] 其中ξ在x与[*]之间,注意到 F’(x)=f(x),F"(x)=f’(x),F"’(x)=f"(x) 并将x=b,x=a分别代入②式并相减,得 [*] 并将ξ
1
,ξ
2
分别在[*]与b,a与[*]之间。 通常f"(ξ
1
)≠f"(ξ
2
),不妨设f"(ξ
1
)<f"(ξ
2
),因而 [*] 于是∫
a
b
f(x)dx=(b-a)[*](b-a)
3
f"(ξ),其中ξ∈(a,b).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/T4R4777K
0
考研数学三
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