设f(x)在[a，b]上可导，f’(x)+[f(x)]2一∫axf(t)dt=0，且∫abf(t)dt=0，则∫axf(t)dt在(a，b)内必定

admin2019-07-10 27

问题设f(x)在[a，b]上可导，f’(x)+[f(x)]²一∫_a^xf(t)dt=0，且∫_a^bf(t)dt=0，则∫_a^xf(t)dt在(a，b)内必定

选项 A、恒为正．
B、恒为负．
C、恒为零．
D、变号．

答案C

解析设F(x)=∫_a^xf(t)dt，若F(x)在(a，b)内可取正值，由于F(a)=F(b)=0，故F(x)在(a，b)内存在最大值且为正，从而知F(x)必在(a，b)内存在正的极大值，记该极大值点为x₀，于是F’(x₀)=0，F(x₀)＞0．即f(x₀)=0，

代入原方程，得

这表明F(x₀)应是极小值，导致矛盾．同理可知F(x)在(a，b)内也不可能取到负值．故选(C)．

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