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  3. 设函数f(x)在[0，π]上连续，且｜f(x)dx＝0，｜f(x)cosxdx＝0，试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)＝f(ξ0)＝0．

设函数f(x)在[0，π]上连续，且｜f(x)dx＝0，｜f(x)cosxdx＝0，试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)＝f(ξ0)＝0．

admin2014-01-26  59
问题 设函数f(x)在[0，π]上连续，且｜f(x)dx＝0，｜f(x)cosxdx＝0，试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)＝f(ξ0)＝0．
选项
答案[详解1] 令F(x)＝∫0xf(t)dt，则有F(0)＝F(π)＝0．又因为 0＝∫0πf(x)cosxdx ＝∫0πF(x) ＝F(x)cosx｜0π＋∫0πF(x)sinsxdx ＝∫0πF(x)sinxdx 令G(x)＝∫0xF(t)sintdt，则G(0)＝G(π)＝0，于是，对G(x)在[0，π]上使用拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinξ＝0． 因为当∈E(0，π)，sinξ≠0，所以有F(ξ)＝0．这样就证明了 F(0)－F(ξ)＝F(π)＝0． 再对F(x)在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔中值定理，知至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使 F’(ξ1)＝F’(ξ2)＝0， 即 f(ξ1)＝f(ξ2)＝0． [详解2] 反证法：令F(x)＝∫0xf(t)dt．则有F(0)＝F(π)－0．由罗尔定理知，存在ξ1∈(0，π)，使F’(ξ1)＝f(ξ)＝0． 假设在(0，π)内f(x)＝0仅有一个实根x＝ξ1，则由∫0πf(x)dx＝0可知，f(x)在(0，ξ1)内与(ξ1，π)内异号，不妨设在(0，ξ1)内f(x＞0，在(ξ1，π)内f(x)＜0．于是再由∫0πf(x)dx＝0 与∫0πf(x)cosxdx及cosx盯在[0，π]上的单调性知： 与∫0πf(x)cosxdx及cosx盯在[0，π]上的单调性知： 0＝∫0πf(x)(cosx－cosξ1)dx ＝∫0ξ1f(x)(cosx—cosξ1)dx＋∫ξ1πf(x)(cosx－cosξ1)dx＞0， 矛盾．从而推知，在(0，π)内除ξ1外，f(x)＝0至少还有另一个实根ξ2，故知存在实根ξ1，ξ2∈(0，π)，ξ1≠ξ2，使f(ξ1)＝f(ξ2)＝0．
解析 [分析]  本题直接用连续函数的介值定理是困难的，可考虑作辅助函数F(x)＝ ∫0xf(t)dt，显然有F(0)＝F(π)＝0，但要最终证明结论，还需另找F(x)的一个零点，这当然要由第二个条件∫0πf(x)cosxdx＝0来实现．为了使其与F(x)联系起来，可将其变换为
    0＝∫0πf(x)cosxdx＝∫0πF(x)，再通过分部积分和微分中值定理或积分巾值定理就可达到目的．   
    [评注1]  证明f(x)有是个零点的一个有效的方法是证明它的原函数有k＋1个零点．F(x)＝∫0xf(t)dt是多次考到的一个特殊的原函数，应当引起注意．
    [评注2]  详解1中的ξ和详解2中的ξ1均可由积分中值定理得到，请读者自己思考．
    积分中值定理：设f(x)在[a，b]上连续，则至少存在一点ξ∈(a，b)，使
   ∫abf(x)dx＝f(ξ)(b－a)．
    [评注3]  证明介值问题，一般有两种情形：
    1．要证的结论与某函数在某一点的函数值f(ξ)有关，但与其导数值无关，可考虑用连续函数的介值定理；
    2．要证的结论与某函数在某一的导数值f’(ξ)(或更高阶导数值)有关，则应考虑用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒公式)．
    但是根据(∫axf(t)dt)’＝f(x)知，若要证的结论与导数无关，用连续函数的介值定理又解决不了时，也可考虑用上述变限的定积分所构造的辅助函数，通过微分中值定理进行证明．这是一个例外的隐含情形，应当引起注意．
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考研数学二

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