证明：方程xa=ln x(a＜0)在(0，+∞)上有且仅有一个实根．

admin2019-08-12 43

问题证明：方程x^a=ln x(a＜0)在(0，+∞)上有且仅有一个实根．

选项

答案令f(x)=ln x—x^α，则f(x)在(0，+∞)上连续，且f(1)=一1＜0，[*]X＞1，当x＞X时，有f(x)＞M＞0，任取x₀＞X，则f(1)f(x₀)＜0，根据零点定理，[*]ξ∈(1，x₀)，使得f(ξ)=0，即方程x^α=ln x在(0，+∞)上至少有一实根．又ln x在(0，+∞)上单调增加，因α＜0，一x^α也单调增加，从而f(x)在(0，+∞)上单调增加，因此方程f(x)=0在(0，+∞)上只有一个实根，即方程x^α=ln x在(0，+∞)上只有一个实根．

解析

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