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设f(x)为[一a,a]上的连续偶函数,且f(x)>0,令 F(x)=∫-aa|x-t|一f(t)dt 当F(x)的最小值为f(A)一a2一1时,求函数f(x)。
设f(x)为[一a,a]上的连续偶函数,且f(x)>0,令 F(x)=∫-aa|x-t|一f(t)dt 当F(x)的最小值为f(A)一a2一1时,求函数f(x)。
admin
2017-07-10
26
问题
设f(x)为[一a,a]上的连续偶函数,且f(x)>0,令
F(x)=∫
-a
a
|x-t|一f(t)dt
当F(x)的最小值为f(A)一a
2
一1时,求函数f(x)。
选项
答案
由2∫
0
n
(t)dt=f(A)一a
2
—1,两边对a求导得2af(A)=f’(a)一2a,于是 f’(x)一2xf(x)=2x,解得 f(x)=[∫2xe
-2xdx
dx+C∫e
-∫-2xdx
=Ce
x2
一1,在2∫
0
2
tf(t)dt=f(A)一a
2
一1中,令a=0,得f(0)=1,则C=2,于是f(x)=2e
x2
一1。
解析
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0
考研数学二
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