设A，B是n阶方阵，证明：AB，BA有相同的特征值．

admin2016-09-19 46

问题设A，B是n阶方阵，证明：AB，BA有相同的特征值．

选项

答案利用特征值的定义．设AB有任一特征值λ，其对应的特征向量为ξ，则 ABξ=λξ． ① ①式两边左乘B，得 BABξ=BA(Bξ)=λ(Bξ)． ② 若Bξ≠0，②式说明，BA也有特征值λ(其对应的特征向量为Bξ)，若Bξ=0，由①式知，λξ=0，ξ≠0，得AB有特征值λ=0，从而｜AB｜=0，且｜BA｜=｜B｜｜A｜=｜A｜｜B｜=｜AB｜=0，从而BA也有λ=0的特征值．故AB和BA有相同的特征值．

解析

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考研数学三

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