已知函数f（x，y）具有二阶连续偏导数，且f（1，y）=0，f（x，1）=0，f（x，y）dxdy=a，其中D={（x，y|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xy fxy"（x，y）dxdy。

admin2017-12-29 52

问题已知函数f（x，y）具有二阶连续偏导数，且f（1，y）=0，f（x，1）=0，

f（x，y）dxdy=a，其中D={（x，y|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=

xy f_xy^"（x，y）dxdy。

选项

答案将二重积分[*]xyf_xy^"（x，y）dxdy转化为累次积分可得 [*]xyf_xy^"（x，y） dxdy=f₀¹dyf₀¹xyf_xy^"（x，y）dx。首先考虑∫₀¹xyf_xy^"（x，y）dx，注意这里把变量y看作常数，故有 ∫₀¹xyf_xy^"（x，y）dx= y∫₀¹xyf_y^’（x，y）=xyf_y^’（x，y）|₀¹一∫₀¹yf_y^’ （x，y）dx =yf_y^’ （1，y）—yf_y^’ （x，y）dx。由f（1，y）=f（x，1）=0易知，f_y^’（1，y）=f_x^’（x，1）=0。所以 ∫₀¹xyf_xy^"（x，y）dx= —∫₀¹yf_y^’（x，y）dx。因此 [*]xyf_xy^"（x，y）dxdy=∫₀¹dy∫₀¹xyf_xy^"（x，y）dx=一∫₀¹dyf_y^’（x，y）dx，对该积分交换积分次序可得，一∫₀¹dy∫₀¹yf_y^’（x，y）dx=一∫₀¹dx∫₀¹yf_y^’（x，y）dy 再考虑积分∫₀¹yf_y^’（x，y）dy，注意这里把变量x看作常数，故有 ∫₀¹yf_y^’（x，y）dy=∫₀¹ydf（x，y）= yf（x，y）|₀¹一∫₀¹f（x，y）dy = —∫₀¹f（x，y）dy，因此 [*]xyf_xy^"（x，y） dxdy=—∫₀¹dx∫₀¹yf_y^’（x，y）dy =∫₀¹dx∫₀¹f（x，y）dy=[*]f（x，y）dxdy=a。

解析

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考研数学三

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