2. 考研
  3. 已知函数f（x，y）具有二阶连续偏导数，且f（1，y）=0，f（x，1）=0，f（x，y）dxdy=a，其中D={（x，y|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xy fxy"（x，y）dxdy。

已知函数f（x，y）具有二阶连续偏导数，且f（1，y）=0，f（x，1）=0，f（x，y）dxdy=a，其中D={（x，y|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xy fxy"（x，y）dxdy。

admin2017-12-29  81
问题 已知函数f（x，y）具有二阶连续偏导数，且f（1，y）=0，f（x，1）=0，f（x，y）dxdy=a，其中D={（x，y|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xy fxy"（x，y）dxdy。
选项
答案将二重积分[*]xyfxy"（x，y）dxdy转化为累次积分可得 [*]xyfxy"（x，y） dxdy=f01dyf01xyfxy"（x，y）dx。 首先考虑∫01xyfxy"（x，y）dx，注意这里把变量y看作常数，故有 ∫01xyfxy"（x，y）dx= y∫01xyfy’（x，y）=xyfy’（x，y）|01一∫01yfy’ （x，y）dx =yfy’ （1，y）—yfy’ （x，y）dx。 由f（1，y）=f（x，1）=0易知，fy’（1，y）=fx’（x，1）=0。所以 ∫01xyfxy"（x，y）dx= —∫01yfy’（x，y）dx。 因此 [*]xyfxy"（x，y）dxdy=∫01dy∫01xyfxy"（x，y）dx=一∫01dyfy’（x，y）dx， 对该积分交换积分次序可得， 一∫01dy∫01yfy’（x，y）dx=一∫01dx∫01yfy’（x，y）dy 再考虑积分∫01yfy’（x，y）dy，注意这里把变量x看作常数，故有 ∫01yfy’（x，y）dy=∫01ydf（x，y）= yf（x，y）|01一∫01f（x，y）dy = —∫01f（x，y）dy， 因此 [*]xyfxy"（x，y） dxdy=—∫01dx∫01yfy’（x，y）dy =∫01dx∫01f（x，y）dy=[*]f（x，y）dxdy=a。
解析
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考研数学三

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