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  3. 设函数f(x)满足微分方程xf′(x)一2f(x)＝一(a+1)x(其中a为正常数)，且f(1)＝1，由曲线y=f(x)(x≤1)与直线=1，y=0所围成的平面图形记为D，已知D的面积为． 求： 函数f(x)的表达式；

设函数f(x)满足微分方程xf′(x)一2f(x)＝一(a+1)x(其中a为正常数)，且f(1)＝1，由曲线y=f(x)(x≤1)与直线=1，y=0所围成的平面图形记为D，已知D的面积为． 求： 函数f(x)的表达式；

admin2016-03-02  35
问题 设函数f(x)满足微分方程xf′(x)一2f(x)＝一(a+1)x(其中a为正常数)，且f(1)＝1，由曲线y=f(x)(x≤1)与直线=1，y=0所围成的平面图形记为D，已知D的面积为．
求：
函数f(x)的表达式；
选项
答案据题意得f′(x)一[*]f(x)=－(a+1) 所以f(x)=[*]dx+C] =x2.[(a+1).∫(－[*])dx＋C] =x2([*]＋C)=Cx2＋(a＋1)x 再由f(1)=1知C＝－a．故f(x)＝－ax2＋(a＋1)x 令f(x)=0，求得曲线与x轴的两个交点分别为x=0，x=1+[*] 所以由曲线y=f(x)(x≤1)与直线x=1，y=0所围成的平面图形D如下图所示 [*] 平面图形D的面积=[*][－ax2+(a+1)x]dx=(－[*]=[*]，所以a=1，即f(x)=－x2+2x
解析
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