设函数f(x)满足微分方程xf′(x)一2f(x)=一(a+1)x(其中a为正常数),且f(1)=1,由曲线y=f(x)(x≤1)与直线=1,y=0所围成的平面图形记为D,已知D的面积为. 求: 函数f(x)的表达式;

admin2016-03-02  18

问题 设函数f(x)满足微分方程xf′(x)一2f(x)=一(a+1)x(其中a为正常数),且f(1)=1,由曲线y=f(x)(x≤1)与直线=1,y=0所围成的平面图形记为D,已知D的面积为
求:
函数f(x)的表达式;

选项

答案据题意得f′(x)一[*]f(x)=-(a+1) 所以f(x)=[*]dx+C] =x2.[(a+1).∫(-[*])dx+C] =x2([*]+C)=Cx2+(a+1)x 再由f(1)=1知C=-a.故f(x)=-ax2+(a+1)x 令f(x)=0,求得曲线与x轴的两个交点分别为x=0,x=1+[*] 所以由曲线y=f(x)(x≤1)与直线x=1,y=0所围成的平面图形D如下图所示 [*] 平面图形D的面积=[*][-ax2+(a+1)x]dx=(-[*]=[*],所以a=1,即f(x)=-x2+2x

解析
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