计算曲面积分4zxdydz－2zydzdx+(1一z2)dxdy，其中S为z=ey(0≤y≤a)绕z轴旋转成的曲面下侧．

admin2016-11-03 50

问题计算曲面积分

4zxdydz－2zydzdx+(1一z²)dxdy，其中S为z=e^y(0≤y≤a)绕z轴旋转成的曲面下侧．

选项

答案设D为平面z=e^a介于此旋转曲面内的部分．令 P=4zx，Q=－2zy，R=1一z²，则 [*] 根据高斯公氏得 [*]4zxdydz一2zydzdx+(1一z²)dxdy=0，所以 [*]4zxdydz一2zydzdx+(1一z²)dxdy =[*]4zxdydz一2zydzdx+(1一z²)dxdy．因D关于y轴对称，4zx是D上关于x的奇函数，故[*]4zxdxdy=0．又D关于x轴对称，2zy是D上关y的奇函数，故[*]52zydzdx=0．于是 [*]4zxdydz一2zydzdx+(1一z²)dxdy =0+0－[*](1一z²)dxdy=一[*](1一e^2a)dxdy =(e^2a—1)[*]dxdy=(e^2a一1)πa²．

解析曲面S不封闭，先添加一平面区域D(见下图)使其封闭．在封闭曲面所围成的区域内使用高斯公式求之．而在添加的平面域上的积分可利用对称性等方法简化求之．

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考研数学一

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