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计算曲面积分4zxdydz-2zydzdx+(1一z2)dxdy,其中S为z=ey(0≤y≤a)绕z轴旋转成的曲面下侧.
计算曲面积分4zxdydz-2zydzdx+(1一z2)dxdy,其中S为z=ey(0≤y≤a)绕z轴旋转成的曲面下侧.
admin
2016-11-03
55
问题
计算曲面积分
4zxdydz-2zydzdx+(1一z
2
)dxdy,其中S为z=e
y
(0≤y≤a)绕z轴旋转成的曲面下侧.
选项
答案
设D为平面z=e
a
介于此旋转曲面内的部分. 令 P=4zx,Q=-2zy,R=1一z
2
, 则 [*] 根据高斯公氏得 [*]4zxdydz一2zydzdx+(1一z
2
)dxdy=0, 所以 [*]4zxdydz一2zydzdx+(1一z
2
)dxdy =[*]4zxdydz一2zydzdx+(1一z
2
)dxdy. 因D关于y轴对称,4zx是D上关于x的奇函数,故[*]4zxdxdy=0.又D关于x轴对称,2zy是D上关y的奇函数,故[*]52zydzdx=0. 于是 [*]4zxdydz一2zydzdx+(1一z
2
)dxdy =0+0-[*](1一z
2
)dxdy=一[*](1一e
2a
)dxdy =(e
2a
—1)[*]dxdy=(e
2a
一1)πa
2
.
解析
曲面S不封闭,先添加一平面区域D(见下图)使其封闭.在封闭曲面所围成的区域内使用高斯公式求之.而在添加的平面域上的积分可利用对称性等方法简化求之.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/WXu4777K
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考研数学一
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