设f(x)在区间(—∞，+∞)上连续，且满足f(x)=∫0xf(x—t)sin tdt+x，则在(一∞，+∞)上，当x≠0时，f(x) ( )

admin2016-05-03 78

问题设f(x)在区间(—∞，+∞)上连续，且满足f(x)=∫₀^xf(x—t)sin tdt+x，则在(一∞，+∞)上，当x≠0时，f(x) ( )

选项 A、恒为正．
B、恒为负．
C、与x同号．
D、与x异号．

答案C

解析作积分变量代换，令x—t=u，得
f(x)=∫_x⁰f(u)sin(x—u)d(一u)+x=∫₀^xf(u)sin(x一u)du+x
=sin x．∫₀^xf(u)cos udu一cos x．∫₀^xf(u)sin udu+x，
f’(x)=cos x．∫₀^xf(u)cos udu+sin x．cos x．f(x)+sin x．∫₀^xf(u)sin udu一cos x．sin x．f(x)+1
=cos x．∫₀^xf(u)cos udu+sin x．∫₀^xf(u)sin udu+1，
f"(x)=—sin x．∫₀^xf(u)cos udu+cosx．f(x)+cos²x．∫₀^xf(u)sin udu+sin²x．f(x)
=f(x)一f(x)+x=x．