设向量α=(α1α2,…,αn)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTβ=0.记n阶矩阵A=αβT。求: 矩阵A的特征值和特征向量。

admin2015-09-14  25

问题 设向量α=(α1α2,…,αn)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTβ=0.记n阶矩阵A=αβT。求:
矩阵A的特征值和特征向量。

选项

答案设λ为A的任一特征值,x(≠0)为对应的特征向量,则Ax=λx,两端左乘A,得A2x=λAx=λ2x,因为A2=0,所以λ2x=0,又x≠0,故λ=0.即矩阵A的特征值全为零。 不妨设向量α,β中分量α1≠0,b1≠0,对齐次方程组(0E一A)x=0的系数矩阵施行初等行变换: [*] 于是,A的属于特征值λ=0的全部特征向量为: c1α1
解析 本题主要考查幂零方阵(即满足Am=0的方阵A,其中m为正整数)的特征值的计算及方阵特征向量的求法,注意α≠0,β≠0,故α,β的分量不全为零,而假设α1≠0,b1≠0,对于消元最为简单。
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