设向量α=(α1α2，…，αn)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT。求：矩阵A的特征值和特征向量。

admin2015-09-14 22

问题设向量α=(α₁α₂，…，α_n)^T，β=(b₁，b₂，…，b_n)^T都是非零向量，且满足条件α^Tβ=0．记n阶矩阵A=αβ^T。求：
矩阵A的特征值和特征向量。

选项

答案设λ为A的任一特征值，x(≠0)为对应的特征向量，则Ax=λx，两端左乘A，得A²x=λAx=λ²x，因为A²=0，所以λ²x=0，又x≠0，故λ=0．即矩阵A的特征值全为零。不妨设向量α，β中分量α₁≠0，b₁≠0，对齐次方程组(0E一A)x=0的系数矩阵施行初等行变换： [*] 于是，A的属于特征值λ=0的全部特征向量为： c₁α_{1
解析本题主要考查幂零方阵(即满足A^m=0的方阵A，其中m为正整数)的特征值的计算及方阵特征向量的求法，注意α≠0，β≠0，故α，β的分量不全为零，而假设α₁≠0，b₁≠0，对于消元最为简单。}

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考研数学三

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