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  3. 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 求：(I)系数A； (Ⅱ)(X，Y)的联合分布函数； (Ⅲ)边缘概率密度； (Ⅳ)(X，Y)落在区域R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6内的概率．

设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 求：(I)系数A； (Ⅱ)(X，Y)的联合分布函数； (Ⅲ)边缘概率密度； (Ⅳ)(X，Y)落在区域R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6内的概率．

admin2016-01-12  121
问题 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为

求：(I)系数A；
(Ⅱ)(X，Y)的联合分布函数；
(Ⅲ)边缘概率密度；
(Ⅳ)(X，Y)落在区域R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6内的概率．
选项
答案(I)根据分布函数的性质 ∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=∫0+∞∫0+∞Ae-(2x+3y)dxdy=[*]，解得A=6． (Ⅱ)将A=6代入得(X，Y)的联合概率密度为 [*] 所以当x＞0，y＞0时， F(x，y)=∫0y∫0x6e-(2x+3y)dxdy=6∫0xe-2xdx∫0ye-3ydy=(1一e-2x)(1一e-3y)， 而当x和y取其它值时，F(x，y)=0． 综上所述，可得联合概率分布函数为 [*] (Ⅲ)当x＞0时，X的边缘密度为 fX(x)=∫X6e-(2x+3y)dy=2e-2x， 当x≤0时,fX(x)=0．因此X的边缘概率密度为 [*] 同理可得Y的边缘概率密度函数为 [*] (IV)根据公式 [*] 已知R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6，将其转化为二次积分，可表示为 [*]
解析
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考研数学三

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