设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数． (1)试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)所满足的微分方程． (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)

admin2017-07-26 71

问题设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．
(1)试将x=x(y)所满足的微分方程

=0变换为y=y(x)所满足的微分方程．
(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=

的解．

选项

答案(1)由反函数的求导法则，知[*]=1．在上式两边同时对变量x求导，得[*]．代入原微分方程，得 y"一y=sinx． ① (2)微分方程①所对应的齐次微分方程y"一y=0的通解为 [*]=c₁e^x+c₂e^—x，其中c₁，c₂为任意常数．微分方程①的特解为 y^*=Acosx+Bsinx，代入到微分方程①中，得A=0，B=一[*]sinx，从而微分方程①的通解为 y=c₁e^x+c₂e^—x一[*]sinx，其中c₁，c₂为任意常数．由条件y(0)=0，y’(0)=[*]得c₁=1，c₂=一1．因此，所求初值问题的解为 y=e^x一e^—x一[*]sinx．

解析利用反函数的求导法则与复合函数的求导法则求出[*]的表达式．代入原微分方程，即得所求的微分方程．然后再求此方程满足初始条件的微分方程．

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考研数学三

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