设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数． (1)试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)所满足的微分方程． (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)

admin2017-07-26 57

问题设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．
(1)试将x=x(y)所满足的微分方程

=0变换为y=y(x)所满足的微分方程．
(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=

的解．

选项

答案(1)由反函数的求导法则，知[*]=1．在上式两边同时对变量x求导，得[*]．代入原微分方程，得 y"一y=sinx． ① (2)微分方程①所对应的齐次微分方程y"一y=0的通解为 [*]=c₁e^x+c₂e^—x，其中c₁，c₂为任意常数．微分方程①的特解为 y^*=Acosx+Bsinx，代入到微分方程①中，得A=0，B=一[*]sinx，从而微分方程①的通解为 y=c₁e^x+c₂e^—x一[*]sinx，其中c₁，c₂为任意常数．由条件y(0)=0，y’(0)=[*]得c₁=1，c₂=一1．因此，所求初值问题的解为 y=e^x一e^—x一[*]sinx．

解析利用反函数的求导法则与复合函数的求导法则求出[*]的表达式．代入原微分方程，即得所求的微分方程．然后再求此方程满足初始条件的微分方程．

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/WuH4777K

考研数学三

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数． (1)试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)所满足的微分方程． (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)

考研数学三

[*]

设y=y(x)是由方程y2+xy+x2+x=0所确定的满足y(一1)=1的隐函数，则

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，证明：(I)存在εi∈(a，b)，使得f(εi)＝f〞(εi)(i＝1，2)；(Ⅱ)存在η∈(a，b)，使得f(η)＝f〞(η)．

设f(μ，ν)具有二阶连续偏导数，且满足又g(x，y)=

求不定积分．

设f(x)是以T为周期的连续函数，且F(x)=∫0xf(t)dt+bx也是以T为周期的连续函数，则b=__________．

设f(x)在[a，b]上连续，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b．试证：在[a，b]内存在ξ，使得

试证明：曲线恰有三个拐点，且位于同一条直线上．

设函数f(x)在[一2，2]上二阶可导，且|f(x)|≤1，又f(0)+[f2(0)]2=4．试证：在(一2，2)内至少存在一点ξ，使得f"(ξ)+f"(ξ)=0．

在当代中国，爱国主义与爱社会主义【】

骨髓和外周血中性分叶核粒细胞的碱性磷酸酶染色积分在下列疾病中常见降低或为零的是

下列指标中，描述抽样误差大小的指标是

项目实施的合同策划不包括()。

工程咨询服务的投标文件通常采用()的形式。

下列说法正确的是()

党的群众路线是()。

某商品标价165元，若降价以9折出售，仍可获得10%的利润(相对于进价)，则该商品的进货价为()元。

蒙元时期，蒙古、中亚贵族出资交给回商人经营以获利，这批商人被称为()。

以下关于汇编语言和汇编指令的叙述中，正确的是()。