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设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数. (1)试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)所满足的微分方程. (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)
设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数. (1)试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)所满足的微分方程. (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)
admin
2017-07-26
57
问题
设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.
(1)试将x=x(y)所满足的微分方程
=0变换为y=y(x)所满足的微分方程.
(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=
的解.
选项
答案
(1)由反函数的求导法则,知[*]=1. 在上式两边同时对变量x求导,得[*].代入原微分方程,得 y"一y=sinx. ① (2)微分方程①所对应的齐次微分方程y"一y=0的通解为 [*]=c
1
e
x
+c
2
e
—x
, 其中c
1
,c
2
为任意常数. 微分方程①的特解为 y
*
=Acosx+Bsinx, 代入到微分方程①中,得A=0,B=一[*]sinx,从而微分方程①的通解为 y=c
1
e
x
+c
2
e
—x
一[*]sinx, 其中c
1
,c
2
为任意常数. 由条件y(0)=0,y’(0)=[*]得c
1
=1,c
2
=一1.因此,所求初值问题的解为 y=e
x
一e
—x
一[*]sinx.
解析
利用反函数的求导法则与复合函数的求导法则求出[*]的表达式.代入原微分方程,即得所求的微分方程.然后再求此方程满足初始条件的微分方程.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/WuH4777K
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考研数学三
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