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验证下列函数都是所给微分方程的解,其中哪些是通解? (1)x2y〞-2xyˊ+2y=0,y=x(C1+C2x); (2)y〞=2yˊ+2y=ex,y=ex(C1cosx+C2 sinx+1); (3)y〞+4y=0,y=C1sin2x+C2sinxcosx
验证下列函数都是所给微分方程的解,其中哪些是通解? (1)x2y〞-2xyˊ+2y=0,y=x(C1+C2x); (2)y〞=2yˊ+2y=ex,y=ex(C1cosx+C2 sinx+1); (3)y〞+4y=0,y=C1sin2x+C2sinxcosx
admin
2014-07-17
76
问题
验证下列函数都是所给微分方程的解,其中哪些是通解?
(1)x
2
y〞-2xyˊ+2y=0,y=x(C
1
+C
2
x);
(2)y〞=2yˊ+2y=e
x
,y=e
x
(C
1
cosx+C
2
sinx+1);
(3)y〞+4y=0,y=C
1
sin2x+C
2
sinxcosx;
(4)xy〞+yˊ=0,y=C
1
lnx
C
2
;
(5)y〞-4xyˊ+(4x
2
-2)y=0,y=(C
1
+C
2
x)e
x
2
;
(6)y〞-9y=9,y=C
1
e
-3x
+C
2
e
2-3x
-1.
选项
答案
(1)y=C
1
x+C
2
x
2
,2y=2C
1
x+2C
2
x
2
,yˊ=C
1
+2C
2
x,-2xyˊ=-2C
1
x-4C
2
x
2
,y〞=2C
2
,x
2
y〞=2C
2
x
2
,故x
2
y〞-2xyˊ+2y=0,即y=x(C
1
+C
2
x)是原方程的解,又因为C
1
与C
2
相互独立,故又是通解. (2)y=e
x
(C
1
cosx+C
2
sinx+1), 2y=2e
x
(C
1
cosx+C
2
sinx+1), yˊ=e
x
[(C
1
+C
2
)cosx+(C
2
-C
1
)sinx+1], 2yˊ=2e
x
[(C
1
+C
2
)cosx+(C
2
-C
1
)sinx+1], y〞=e
x
(2C
2
cosx-2C
1
sinx+1) =2e
x
(C
2
cosx-2C
1
sinx+1), 故 y〞-2yˊ+2y=e
x
. 又C
1
与C
2
相互独立,从而y=e
x
(C
2
cosx+C
2
sinx+1)又是原方程的通解. (3)y=C
1
sin2x+C
2
sinxcosx(C
1
+C
2
/2)sin2x=ksin2x, 其中 k=C
2
/2+C
1
,即C
1
与C
2
不相互独立. 又yˊ=2kcos2x,y〞=-4ksin2x,故y〞+4y=0.故y=C
1
sin2x+C
2
sinxcosx是原方程的解,但不是通解. (4)y=C
1
lnx
C
2
=C
1
C
2
ln|x|=kln|x|,其中k=C
1
C
2
,即C
1
与C
2
不相互独立. 又yˊ=k/x,y〞=-k/x
2
,故y〞+ky=0,从而y=C
1
lnx
C
2
是原方程的解,但不是通解. (5)y=(C
1
+C
2
x)e
x
2
, (4x
2
-2)y=(4x
2
-2)(C
1
+C
2
x)e
x
2
=2(2C
2
x
5
+2C
1
x
2
一C
2
x-C
1
)e
x
2
, yˊ=(2C
2
x
2
+2C
1
x+C
2
)e
x
2
, 4xyˊ=4(2C
2
x
3
+2C
1
x
2
+C
2
x)e
x
2
, y〞=2(2C
2
x
3
+2C
1
x
2
+3C
2
x+C
1
)e
x
2
. 故y〞=4xyˊ+4(x
2
-2)y=0,又C
1
与C
2
相互独立,从而y=(C
1
+C
2
x)e
x
2
又是原方程的通解. (6)y=C
1
e
-3x
+C
2
e
2-3x
-1=(C
1
+C
2
e
2
)e
-3x
+1=ke
-3x
-1, 即C
1
与C
2
不是相互独立的. yˊ=-3ke
-3x
,y〞=9ke
-3x
,故y〞-9y=9,又C
1
与C
2
不是相互独立的,从而y=C
1
e
-3x
+C
1
e
2-3x
=1是解,但不是通解.
解析
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考研数学三
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