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验证下列函数都是所给微分方程的解，其中哪些是通解? (1)x2y〞－2xyˊ＋2y＝0，y＝x(C1＋C2x)； (2)y〞＝2yˊ＋2y＝ex，y＝ex(C1cosx＋C2 sinx＋1)； (3)y〞＋4y＝0，y＝C1sin2x＋C2sinxcosx
验证下列函数都是所给微分方程的解，其中哪些是通解? (1)x2y〞－2xyˊ＋2y＝0，y＝x(C1＋C2x)； (2)y〞＝2yˊ＋2y＝ex，y＝ex(C1cosx＋C2 sinx＋1)； (3)y〞＋4y＝0，y＝C1sin2x＋C2sinxcosx
admin
2014-07-17
108
问题
验证下列函数都是所给微分方程的解，其中哪些是通解?
(1)x
2
y〞－2xyˊ＋2y＝0，y＝x(C
1
＋C
2
x)；
(2)y〞＝2yˊ＋2y＝e
x
，y＝e
x
(C
1
cosx＋C
2
sinx＋1)；
(3)y〞＋4y＝0，y＝C
1
sin2x＋C
2
sinxcosx；
(4)xy〞＋yˊ＝0，y＝C
1
lnx
C
2
；
(5)y〞－4xyˊ＋(4x
2
－2)y＝0，y＝(C
1
＋C
2
x)e
x
2
；
(6)y〞－9y＝9，y＝C
1
e
－3x
＋C
2
e
2－3x
－1．
选项
答案
(1)y＝C
1
x＋C
2
x
2
，2y＝2C
1
x＋2C
2
x
2
，yˊ＝C
1
＋2C
2
x，－2xyˊ＝－2C
1
x－4C
2
x
2
，y〞＝2C
2
，x
2
y〞＝2C
2
x
2
，故x
2
y〞－2xyˊ＋2y＝0，即y＝x(C
1
＋C
2
x)是原方程的解，又因为C
1
与C
2
相互独立，故又是通解． (2)y＝e
x
(C
1
cosx＋C
2
sinx＋1)， 2y＝2e
x
(C
1
cosx＋C
2
sinx＋1)， yˊ＝e
x
[(C
1
＋C
2
)cosx＋(C
2
－C
1
)sinx＋1]， 2yˊ＝2e
x
[(C
1
＋C
2
)cosx＋(C
2
－C
1
)sinx＋1]， y〞＝e
x
(2C
2
cosx－2C
1
sinx＋1) ＝2e
x
(C
2
cosx－2C
1
sinx＋1)， 故 y〞－2yˊ＋2y＝e
x
． 又C
1
与C
2
相互独立，从而y＝e
x
(C
2
cosx＋C
2
sinx＋1)又是原方程的通解． (3)y＝C
1
sin2x＋C
2
sinxcosx(C
1
＋C
2
／2)sin2x＝ksin2x， 其中 k＝C
2
／2＋C
1
，即C
1
与C
2
不相互独立． 又yˊ＝2kcos2x，y〞＝－4ksin2x，故y〞＋4y＝0．故y＝C
1
sin2x＋C
2
sinxcosx是原方程的解，但不是通解． (4)y＝C
1
lnx
C
2
＝C
1
C
2
ln｜x｜＝kln｜x｜，其中k＝C
1
C
2
，即C
1
与C
2
不相互独立． 又yˊ＝k／x，y〞＝－k／x
2
，故y〞＋ky＝0，从而y＝C
1
lnx
C
2
是原方程的解，但不是通解． (5)y＝(C
1
＋C
2
x)e
x
2
， (4x
2
－2)y＝(4x
2
－2)(C
1
＋C
2
x)e
x
2
＝2(2C
2
x
5
＋2C
1
x
2
一C
2
x－C
1
)e
x
2
， yˊ＝(2C
2
x
2
＋2C
1
x＋C
2
)e
x
2
， 4xyˊ＝4(2C
2
x
3
＋2C
1
x
2
＋C
2
x)e
x
2
， y〞＝2(2C
2
x
3
＋2C
1
x
2
＋3C
2
x＋C
1
)e
x
2
． 故y〞＝4xyˊ＋4(x
2
－2)y＝0，又C
1
与C
2
相互独立，从而y＝(C
1
＋C
2
x)e
x
2
又是原方程的通解． (6)y＝C
1
e
－3x
＋C
2
e
2－3x
－1＝(C
1
＋C
2
e
2
)e
－3x
＋1＝ke
－3x
－1， 即C
1
与C
2
不是相互独立的． yˊ＝－3ke
－3x
，y〞＝9ke
－3x
，故y〞－9y＝9，又C
1
与C
2
不是相互独立的，从而y＝C
1
e
－3x
＋C
1
e
2－3x
＝1是解，但不是通解．
解析
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考研数学三
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