2. 考研
  3. 验证下列函数都是所给微分方程的解，其中哪些是通解? (1)x2y〞－2xyˊ＋2y＝0，y＝x(C1＋C2x)； (2)y〞＝2yˊ＋2y＝ex，y＝ex(C1cosx＋C2 sinx＋1)； (3)y〞＋4y＝0，y＝C1sin2x＋C2sinxcosx

验证下列函数都是所给微分方程的解，其中哪些是通解? (1)x2y〞－2xyˊ＋2y＝0，y＝x(C1＋C2x)； (2)y〞＝2yˊ＋2y＝ex，y＝ex(C1cosx＋C2 sinx＋1)； (3)y〞＋4y＝0，y＝C1sin2x＋C2sinxcosx

admin2014-07-17  77
问题 验证下列函数都是所给微分方程的解，其中哪些是通解?
(1)x2y〞－2xyˊ＋2y＝0，y＝x(C1＋C2x)；
(2)y〞＝2yˊ＋2y＝ex，y＝ex(C1cosx＋C2 sinx＋1)；
(3)y〞＋4y＝0，y＝C1sin2x＋C2sinxcosx；
(4)xy〞＋yˊ＝0，y＝C1lnxC2；
(5)y〞－4xyˊ＋(4x2－2)y＝0，y＝(C1＋C2x)ex2；
(6)y〞－9y＝9，y＝C1e－3x＋C2e2－3x－1．
选项
答案(1)y＝C1x＋C2x2，2y＝2C1x＋2C2x2，yˊ＝C1＋2C2x，－2xyˊ＝－2C1x－4C2x2，y〞＝2C2，x2y〞＝2C2x2，故x2y〞－2xyˊ＋2y＝0，即y＝x(C1＋C2x)是原方程的解，又因为C1与C2相互独立，故又是通解． (2)y＝ex(C1cosx＋C2sinx＋1)， 2y＝2ex(C1cosx＋C2sinx＋1)， yˊ＝ex[(C1＋C2)cosx＋(C2－C1)sinx＋1]， 2yˊ＝2ex[(C1＋C2)cosx＋(C2－C1)sinx＋1]， y〞＝ex(2C2cosx－2C1sinx＋1) ＝2ex(C2cosx－2C1sinx＋1)， 故 y〞－2yˊ＋2y＝ex． 又C1与C2相互独立，从而y＝ex(C2cosx＋C2sinx＋1)又是原方程的通解． (3)y＝C1sin2x＋C2sinxcosx(C1＋C2／2)sin2x＝ksin2x， 其中 k＝C2／2＋C1，即C1与C2不相互独立． 又yˊ＝2kcos2x，y〞＝－4ksin2x，故y〞＋4y＝0．故y＝C1sin2x＋C2sinxcosx是原方程的解，但不是通解． (4)y＝C1lnxC2＝C1C2ln｜x｜＝kln｜x｜，其中k＝C1C2，即C1与C2不相互独立． 又yˊ＝k／x，y〞＝－k／x2，故y〞＋ky＝0，从而y＝C1lnxC2是原方程的解，但不是通解． (5)y＝(C1＋C2x)ex2， (4x2－2)y＝(4x2－2)(C1＋C2x)ex2 ＝2(2C2x5＋2C1x2一C2x－C1)ex2， yˊ＝(2C2x2＋2C1x＋C2)ex2， 4xyˊ＝4(2C2x3＋2C1x2＋C2x)ex2， y〞＝2(2C2x3＋2C1x2＋3C2x＋C1)ex2． 故y〞＝4xyˊ＋4(x2－2)y＝0，又C1与C2相互独立，从而y＝(C1＋C2x)ex2又是原方程的通解． (6)y＝C1e－3x＋C2e2－3x－1＝(C1＋C2e2)e－3x＋1＝ke－3x－1， 即C1与C2不是相互独立的． yˊ＝－3ke－3x，y〞＝9ke－3x，故y〞－9y＝9，又C1与C2不是相互独立的，从而y＝C1e－3x＋C1e2－3x＝1是解，但不是通解．
解析
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考研数学三

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