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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,6)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,∫ab)dx=0.证明: (Ⅰ)存在ξi∈(a,b),使得f(ξi)=f’’(ξi)(i=1,2); (Ⅱ)存在η∈(a,b),使得f(η)=f’’(η).
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,6)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,∫ab)dx=0.证明: (Ⅰ)存在ξi∈(a,b),使得f(ξi)=f’’(ξi)(i=1,2); (Ⅱ)存在η∈(a,b),使得f(η)=f’’(η).
admin
2014-07-17
63
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,6)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,∫
a
b
)dx=0.证明:
(Ⅰ)存在ξ
i
∈(a,b),使得f(ξ
i
)=f
’’
(ξ
i
)(i=1,2);
(Ⅱ)存在η∈(a,b),使得f(η)=f
’’
(η).
选项
答案
(Ⅰ)令F(x)=∫
a
x
f(t)dt,F(a)=F(b)=0, 由罗尔定理,存在c∈(a,b),使得F
’
(c)=0,即f(c)=0. 令h(x)=e
-x
(x),则h(a)=h(c)=h(b)=0, 由罗尔定理,存在ξ
1
∈(a,c),ξ
1
∈(c,b),使得h
’
(ξ
1
)=h
’
(ξ
2
)=0, 而h
’
(x)=e
-x
[f
’
(x)-f(x)]且e
-x
≠0,所以f(x)=f
’
(ξ
i
)(i=1,2). (Ⅱ)令H(x)=e
x
[f
’
(x)-f(x)],H
’
(x)=e
x
[f
’’
(x)-f(x)]. H(ξ
1
)=H(ξ
2
)=0,由罗尔定理,存在η∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使得H
’
(η)=0, 注意到e
x
≠0,所以f(η)=f
’’
(η).
解析
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考研数学三
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