设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0，证明：向量组α，4α，…，AAk-1α线性无关．

admin2022-01-05 53

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kX=0有解向量α，且A^k-1α≠0，证明：向量组α，4α，…，AA^k-1α线性无关．

选项

答案设有一组数λ₀，λ₁，…，λ^k-1使λ₀α+λ₁Aα+…+λ_k-mA^k-1α=0，两端左乘A^k-1，由于A^k+mα=0(m=0，1，2，…)，=>λ₀A^k-1α=0，又A^k-1α≠0，=>λ₀=0，同理可证λ₁=…=λ_k-1=0，故α，Aα，…，A^k-1线性无关．

解析

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考研数学三

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