设φ(x)在[a，b]上连续，且φ(x)＞0，则函数y=∫ab|x一t|φ(t)dt的图形在(a，b)内( )

admin2019-07-12 30

问题设φ(x)在[a，b]上连续，且φ(x)＞0，则函数y=∫_a^b|x一t|φ(t)dt的图形在(a，b)内( )

选项 A、为凸
B、为凹
C、有拐点
D、有间断点

答案B

解析令y=ψ(x)，先将ψ(x)利用|x—t|的分段性分解变形，有
ψ(x)=∫_a^x(x—t)φ(t)dt+∫_x^b(t一x)φ(t)dt=x∫_a^xφ(t)dt—∫_a^xtφ(t)dt+∫_x^btφ(t)dt—x∫_x^bφ(t)dt．
因为φ(t)在[a，b]上连续，所以ψ(x)可导，因而答案不可能是(D)．要讨论其余三个选项，只需求出ψ"(x)，讨论ψ"(x)在(a，b)内的符号即可．因
ψ’(x)=∫_a^xφ(t)dt—∫_x^bφ(t)dt，ψ"(x)=2φ(x)＞0，x∈[a，b]，故y=ψ(x)在(a，b)内的图形为凹．应选(B)．

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