设φ(x)在[a,b]上连续,且φ(x)>0,则函数y=∫ab|x一t|φ(t)dt的图形在(a,b)内( )

admin2019-07-12  28

问题 设φ(x)在[a,b]上连续,且φ(x)>0,则函数y=∫ab|x一t|φ(t)dt的图形在(a,b)内(    )

选项 A、为凸
B、为凹
C、有拐点
D、有间断点

答案B

解析 令y=ψ(x),先将ψ(x)利用|x—t|的分段性分解变形,有
  ψ(x)=∫ax(x—t)φ(t)dt+∫xb(t一x)φ(t)dt=x∫axφ(t)dt—∫axtφ(t)dt+∫xbtφ(t)dt—x∫xbφ(t)dt.
    因为φ(t)在[a,b]上连续,所以ψ(x)可导,因而答案不可能是(D).要讨论其余三个选项,只需求出ψ"(x),讨论ψ"(x)在(a,b)内的符号即可.因
    ψ’(x)=∫axφ(t)dt—∫xbφ(t)dt,ψ"(x)=2φ(x)>0,x∈[a,b],故y=ψ(x)在(a,b)内的图形为凹.应选(B).
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