设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2019-07-16 67

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²，记

若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

选项

答案记矩阵A=2αα^T+ββ^T．由于α，β正交且为单位向量，即α^Tα=1，β^Tβ=1，α^Tβ=β^Tα=0，所以 Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2α， αβ=(2αα^T+ββ^T)β=β，于是λ₁=2，λ₂=1是矩阵A的特征值．又 r(A)=r(2αα^T+ββ^T)≤r(2αα^T)+r(ββ^T)≤2，所以λ₃=0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

解析

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考研数学三

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