已知y1*=e﹣2x+xe﹣x,y2*=2xe﹣2x+xe﹣x,y3*=e﹣2x+xe﹣x+2xe﹣2x是某二阶线性常系数微分方程y’’+py’+qy=f(x)的三个解。 (Ⅰ)求这个方程和它的通解; (Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足y(0)=0,y’(0

admin2019-12-06  65

问题 已知y1*=e﹣2x+xe﹣x,y2*=2xe﹣2x+xe﹣x,y3*=e﹣2x+xe﹣x+2xe﹣2x是某二阶线性常系数微分方程y’’+py’+qy=f(x)的三个解。
(Ⅰ)求这个方程和它的通解;
(Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足y(0)=0,y’(0)=0的特解,求∫0﹢∞y(x)dx。

选项

答案(Ⅰ)由线性方程组的叠加定理得 y1(x)=y3*(x)-y1*(x)=2xe﹣2x, y1(x)=y3*(x)-y2*(x)=e﹣2x, 均是相应的齐次方程的解,故线性无关。则该方程的特征根为λ=﹣2,且为重根,故特征方程为(λ+2)2=0,即y’’+4y+4y=0。把三个解的公共部分xe﹣x代入y’’+4y+4y=f(x)可得f(x)=(x+2)e﹣x,故方程为y’’+4y+4y=(x+2)e﹣x,其通解为y(x)=C1e﹣2x+C2xe﹣2x+xe﹣x,其中C1,C2为任意常数。 (Ⅱ)由第(Ⅰ)问中得到的y(x)通解知,对任意的C1,C21,方程的解y(x)均有 [*]。 不必由初值确定C1,C2,直接将方程两边积分得 ∫0﹢∞y’’(x)dx+4∫0﹢∞y(x)dx+4∫0﹢∞y(x)dx=∫0﹢∞(x+2)e﹣xdx →y(x)|0﹢∞+4y(x)|0﹢∞+4∫0﹢∞y(x)dx=∫0﹢∞(x+2)e﹣xdx →∫0﹢∞y(x)dx= [*]。

解析
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