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已知y1*=e﹣2x+xe﹣x,y2*=2xe﹣2x+xe﹣x,y3*=e﹣2x+xe﹣x+2xe﹣2x是某二阶线性常系数微分方程y’’+py’+qy=f(x)的三个解。 (Ⅰ)求这个方程和它的通解; (Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足y(0)=0,y’(0
已知y1*=e﹣2x+xe﹣x,y2*=2xe﹣2x+xe﹣x,y3*=e﹣2x+xe﹣x+2xe﹣2x是某二阶线性常系数微分方程y’’+py’+qy=f(x)的三个解。 (Ⅰ)求这个方程和它的通解; (Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足y(0)=0,y’(0
admin
2019-12-06
116
问题
已知y
1
*
=e
﹣2x
+xe
﹣x
,y
2
*
=2xe
﹣2x
+xe
﹣x
,y
3
*
=e
﹣2x
+xe
﹣x
+2xe
﹣2x
是某二阶线性常系数微分方程y
’’
+py’+qy=f(x)的三个解。
(Ⅰ)求这个方程和它的通解;
(Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足y(0)=0,y’(0)=0的特解,求∫
0
﹢∞
y(x)dx。
选项
答案
(Ⅰ)由线性方程组的叠加定理得 y
1
(x)=y
3
*
(x)-y
1
*
(x)=2xe
﹣2x
, y
1
(x)=y
3
*
(x)-y
2
*
(x)=e
﹣2x
, 均是相应的齐次方程的解,故线性无关。则该方程的特征根为λ=﹣2,且为重根,故特征方程为(λ+2)
2
=0,即y
’’
+4y
’
+4y=0。把三个解的公共部分xe
﹣x
代入y
’’
+4y
’
+4y=f(x)可得f(x)=(x+2)e
﹣x
,故方程为y
’’
+4y
’
+4y=(x+2)e
﹣x
,其通解为y(x)=C
1
e
﹣2x
+C
2
xe
﹣2x
+xe
﹣x
,其中C
1
,C
2
为任意常数。 (Ⅱ)由第(Ⅰ)问中得到的y(x)通解知,对任意的C
1
,C
21
,方程的解y(x)均有 [*]。 不必由初值确定C
1
,C
2
,直接将方程两边积分得 ∫
0
﹢∞
y
’’
(x)dx+4∫
0
﹢∞
y
’
(x)dx+4∫
0
﹢∞
y(x)dx=∫
0
﹢∞
(x+2)e
﹣x
dx →y
’
(x)|
0
﹢∞
+4y(x)|
0
﹢∞
+4∫
0
﹢∞
y(x)dx=∫
0
﹢∞
(x+2)e
﹣x
dx →∫
0
﹢∞
y(x)dx= [*]。
解析
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考研数学二
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