2. 考研
  3. 已知y1*＝e﹣2x＋xe﹣x，y2*＝2xe﹣2x＋xe﹣x，y3*＝e﹣2x＋xe﹣x＋2xe﹣2x是某二阶线性常系数微分方程y’’＋py’＋qy＝f(x)的三个解。 (Ⅰ)求这个方程和它的通解； (Ⅱ)设y＝y(x)是该方程满足y(0)＝0，y’(0

已知y1*＝e﹣2x＋xe﹣x，y2*＝2xe﹣2x＋xe﹣x，y3*＝e﹣2x＋xe﹣x＋2xe﹣2x是某二阶线性常系数微分方程y’’＋py’＋qy＝f(x)的三个解。 (Ⅰ)求这个方程和它的通解； (Ⅱ)设y＝y(x)是该方程满足y(0)＝0，y’(0

admin2019-12-06  103
问题 已知y1*＝e﹣2x＋xe﹣x，y2*＝2xe﹣2x＋xe﹣x，y3*＝e﹣2x＋xe﹣x＋2xe﹣2x是某二阶线性常系数微分方程y’’＋py’＋qy＝f(x)的三个解。
(Ⅰ)求这个方程和它的通解；
(Ⅱ)设y＝y(x)是该方程满足y(0)＝0，y’(0)＝0的特解，求∫0﹢∞y(x)dx。
选项
答案(Ⅰ)由线性方程组的叠加定理得 y1(x)＝y3*(x)－y1*(x)＝2xe﹣2x， y1(x)＝y3*(x)-y2*(x)＝e﹣2x， 均是相应的齐次方程的解，故线性无关。则该方程的特征根为λ＝﹣2，且为重根，故特征方程为(λ＋2)2＝0，即y’’＋4y’＋4y＝0。把三个解的公共部分xe﹣x代入y’’＋4y’＋4y＝f(x)可得f(x)＝(x＋2)e﹣x，故方程为y’’＋4y’＋4y＝(x＋2)e﹣x，其通解为y(x)＝C1e﹣2x＋C2xe﹣2x＋xe﹣x，其中C1，C2为任意常数。 (Ⅱ)由第(Ⅰ)问中得到的y(x)通解知，对任意的C1，C21，方程的解y(x)均有 [*]。 不必由初值确定C1，C2，直接将方程两边积分得 ∫0﹢∞y’’(x)dx＋4∫0﹢∞y’(x)dx＋4∫0﹢∞y(x)dx＝∫0﹢∞(x＋2)e﹣xdx →y’(x)｜0﹢∞＋4y(x)｜0﹢∞＋4∫0﹢∞y(x)dx＝∫0﹢∞(x＋2)e﹣xdx →∫0﹢∞y(x)dx＝ [*]。
解析
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考研数学二

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