如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6，试建立适当的坐标系，求曲线C的方程．

admin2019-08-06 23

问题如图，直线l₁和l₂相交于点M，l₁⊥l₂，点N∈l₁，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=

，|AN|=3，且|BN|=6，试建立适当的坐标系，求曲线C的方程．

选项

答案如图所示．以l₁为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l₂为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．设曲线C的方程为y²=2px，p＞0(x₁≤x≤x₂，y＞0)．其中，x₁、x₂分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N的坐标分别为[*]．由|AM|=[*]和|AN|=3和△AMN是锐角三角形，得 [*]解得p=4，x₁=1．又由抛物线的定义，得x₂=|BN|一[*]=6—2=4．故曲线C的方程为y²=8x(1≤x≤4，y＞0)． [*]

解析

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如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6，试建立适当的坐标系，求曲线C的方程．

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