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设f(x)是区间[a,b]上的一个非常数的连续函数,M,m分别是最大、最小值,证明:存在[α,β][a,b],使得 (1)m<f(x)<M,x∈(α,β); (2)f(α),f(β)恰好是f(x)在[a,b]上的最大、最小值(最小、最大值)
设f(x)是区间[a,b]上的一个非常数的连续函数,M,m分别是最大、最小值,证明:存在[α,β][a,b],使得 (1)m<f(x)<M,x∈(α,β); (2)f(α),f(β)恰好是f(x)在[a,b]上的最大、最小值(最小、最大值)
admin
2022-10-31
48
问题
设f(x)是区间[a,b]上的一个非常数的连续函数,M,m分别是最大、最小值,证明:存在[α,β]
[a,b],使得
(1)m<f(x)<M,x∈(α,β);
(2)f(α),f(β)恰好是f(x)在[a,b]上的最大、最小值(最小、最大值).
选项
答案
∵f(x)是[a,b]上一个非常数的连续函数,∴m<M. 不妨设α
1
,β
1
∈[a,b],α
1
<β
1
,使f(α
1
)=m,f(β
1
)=M.若对[*]x∈(α
1
,β
1
),有m<f(x)<M,则结论成立.否则,即存在点x
0
∈(α
1
,β
1
),有f(x
0
)=m或f(x
0
)=M. 当f(x
0
)=m时,取α
2
=x
0
,β
2
=β
1
,则有[α
2
,β
2
][*][a,b],使得f(α
2
)=m,f(β
2
)=M.当f(x
0
)=M时,取α
2
=α
1
,β
2
=x
0
,则有[α
2
,β
2
][*][a,b],使得f(α
2
)=m,f(β
2
)=M.即总存在[α
2
,β
2
],f(α
2
)=m,f(β
2
)=M且[α
2
,β
2
][*][α
1
,β
1
]. 重复上述过程:若对[*]x∈(α
2
,β
2
),有m<f(x)<M.则结论成立.否则,即存在点x
1
∈(α
2
,β
2
),有f(x
1
)=m或f(x
1
)=M.当f(x
1
)=m时,取α
3
=x
1
,β
3
=β
2
,有[α
3
,β
3
][*][α
2
,β
2
],且f(α
3
)=m,f(β
3
)=M.当f(x
1
)=M时,取α
3
=α
2
,β
3
=x
1
,有[α
3
,β
3
][*][α
2
,β
2
],且f(α
3
)=m,f(β
3
)=M. 这样再重复上述过程,得到[α,β][*][a,b],使m<f(x)<M,x∈(α,β).此时结论成立.或者存在[α
n
,β
n
][*][a,b],且[α
n+1
,β
n+1
][*][α
n
,β
n
],使得f(α
n
)=m,f(β
n
)=M,n=1,2,….此时,因为{α
n
}递增有上界,{β
n
}递减有下界,所以存在α,β∈[a,b]使[*]且α
n
≤α≤β≤β
n
.假如α=β,由于f(α
n
)=m,f(β
n
)=M,f(x)是连续函数,可以推出 [*] 即m=M,矛盾.所以α<β且[*]x∈(α,β),有m<f(x)<M,f(α)是f(x)在[a,b]上的最小值,f(β)是f(x)在[a,b]上的最大值.
解析
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考研数学二
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