2. 考研
  3. 设矩阵A＝有一个特征值是3． (Ⅰ)求y的值； (Ⅱ)求正交矩阵P，使(AP)TAP为对角矩阵； (Ⅲ)判断矩阵A2是否为正定矩阵，并证明你的结论．

设矩阵A＝有一个特征值是3． (Ⅰ)求y的值； (Ⅱ)求正交矩阵P，使(AP)TAP为对角矩阵； (Ⅲ)判断矩阵A2是否为正定矩阵，并证明你的结论．

admin2016-03-16  21
问题 设矩阵A＝有一个特征值是3．
    (Ⅰ)求y的值；
    (Ⅱ)求正交矩阵P，使(AP)TAP为对角矩阵；
    (Ⅲ)判断矩阵A2是否为正定矩阵，并证明你的结论．
选项
答案(Ⅰ)3是A的特征值，故｜3E－A｜＝8(3－y－1)＝0，解出y＝2． [*] A2的特征值为 λ1＝λ2＝λ3＝1，λ4＝9． 当λ＝1时，(E－A2)χ＝0的基础解系为 ξ1＝(1，0，0，0)T，ξ2＝(0，1，0，0)T，ξ3＝(0，0，－1，1)T 当λ＝9时，(gE－A2)χ＝0的基础解系为ξ4＝(0，0，1，1)T． 对ξ1，ξ2，ξ3，ξ4进行单位化： η1＝[*]＝(1，0，0，0)T，η2＝[*]＝(0，1，0，0)T， η3＝[*]＝(0，0，－1，1)T，η4＝[*]＝(0，0，1，1)T， 令P＝(η1，η2，η3，η4)＝[*]，则P为正交矩阵，且 pTA2p＝(AP)TALP＝A＝[*] (Ⅲ)(A2)T＝A2，所以A2是对称矩阵． 由于A2的特征值1，1，1，9全大于零，所以A2为正定矩阵．
解析
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考研数学二

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