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设矩阵A=有一个特征值是3. (Ⅰ)求y的值; (Ⅱ)求正交矩阵P,使(AP)TAP为对角矩阵; (Ⅲ)判断矩阵A2是否为正定矩阵,并证明你的结论.
设矩阵A=有一个特征值是3. (Ⅰ)求y的值; (Ⅱ)求正交矩阵P,使(AP)TAP为对角矩阵; (Ⅲ)判断矩阵A2是否为正定矩阵,并证明你的结论.
admin
2016-03-16
37
问题
设矩阵A=
有一个特征值是3.
(Ⅰ)求y的值;
(Ⅱ)求正交矩阵P,使(AP)
T
AP为对角矩阵;
(Ⅲ)判断矩阵A
2
是否为正定矩阵,并证明你的结论.
选项
答案
(Ⅰ)3是A的特征值,故|3E-A|=8(3-y-1)=0,解出y=2. [*] A
2
的特征值为 λ
1
=λ
2
=λ
3
=1,λ
4
=9. 当λ=1时,(E-A
2
)χ=0的基础解系为 ξ
1
=(1,0,0,0)
T
,ξ
2
=(0,1,0,0)
T
,ξ
3
=(0,0,-1,1)
T
当λ=9时,(gE-A
2
)χ=0的基础解系为ξ
4
=(0,0,1,1)
T
. 对ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
,ξ
4
进行单位化: η
1
=[*]=(1,0,0,0)
T
,η
2
=[*]=(0,1,0,0)
T
, η
3
=[*]=(0,0,-1,1)
T
,η
4
=[*]=(0,0,1,1)
T
, 令P=(η
1
,η
2
,η
3
,η
4
)=[*],则P为正交矩阵,且 p
T
A
2
p=(AP)
T
ALP=A=[*] (Ⅲ)(A
2
)
T
=A
2
,所以A
2
是对称矩阵. 由于A
2
的特征值1,1,1,9全大于零,所以A
2
为正定矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/XgbD777K
0
考研数学二
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