设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)>0，

admin2018-04-18 26

问题设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)>0，

<0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ)．

选项

答案不妨设f(a)>0，f(b)>0，[*]<0，令φ(x)=e^-xf(x)，则 φ’(x)=e^-x[f’(x)-f(x)]．因为φ(a)>0，[*]<0，φ(b)>0，所以存在ξ₁∈[*]，ξ₂∈[*] 使得φ(ξ₁)=φ(ξ₂)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ₁，ξ₂)[*](a，b)，使得φ’(ξ)=0，即e^-ξ[f’(ξ)-f(ξ)]=0，因为e^-ξ≠0，所以f’(ξ)f(ξ)．

解析

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考研数学二

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设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ(a，b)，使得f"(f)=g"(ξ)．
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