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设齐次线性方程组 其中a≠0,b≠0,n≥2.试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多组解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解.
设齐次线性方程组 其中a≠0,b≠0,n≥2.试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多组解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解.
admin
2017-07-26
25
问题
设齐次线性方程组
其中a≠0,b≠0,n≥2.试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多组解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解.
选项
答案
方程组的系数行列式 |A|=[*]=[a+(n一1)b](a一b)
n—1
. 当a≠b且a≠(1一n)b时,方程组仅有零解. 当a=b时,对系数矩阵A作行初等变换,有 [*] 原方程组的同解方程组为 x
1
,x
2
,…,x
n
=0, 其基础解系为 α
1
=(一1,1,0,…,0)
T
,α
1
=(一1,0,1,…,0)
T
,α
3
=(一1,0,0,…,1)
T
. 方程组的全部解是 x=c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
n—1
α
n—1
(c
1
,c
2
,…,a
n—1
为任意常数). 当a=(1一n)b时,对系数矩阵A作行初等变换,有 [*] 其基础解系为 β=(1,1,…,1)
T
. 方程组的全部解是 x=cβ(c为任意常数).
解析
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考研数学三
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