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设有一容器由平面z=0,z=1及介于它们之间的曲面S所围成,过z轴上任意点(0,0,z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z),它是半径的圆面.若以每秒v0体积单位的均匀速度往该容器注水,并假设开始时容器是空的. (Ⅰ)写出
设有一容器由平面z=0,z=1及介于它们之间的曲面S所围成,过z轴上任意点(0,0,z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z),它是半径的圆面.若以每秒v0体积单位的均匀速度往该容器注水,并假设开始时容器是空的. (Ⅰ)写出
admin
2016-02-27
67
问题
设有一容器由平面z=0,z=1及介于它们之间的曲面S所围成,过z轴上任意点(0,0,z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z),它是半径
的圆面.若以每秒v
0
体积单位的均匀速度往该容器注水,并假设开始时容器是空的.
(Ⅰ)写出注水过程中t时刻水面高度z=z(t)与相应的水体积V=V(t)之间的关系式,并求出水面高度z与时间t的函数关系;
(Ⅱ)求水表面上升速度最大时的水面高度;
(Ⅲ)求灌满容器所需的时间.
选项
答案
要明确题中所出现的各个物理量之间的关系,并能用积分或导数表示其关系,以及它们所满足的微分方程. 解 (Ⅰ)由题设知 [*] 其中S(z)是水面D(z)的面积,且 S(z)=π[z
2
+(1一z)
2
], 现由[*]及z(0)=0,求z(t). 将上式两边对t求导,由复合函数求导法则得 [*] S(z)dz=v
0
dt, 即 [*] 两边积分并注意z(0)=0,得 [*] (Ⅱ)求z取何值时,[*]取最大值.已求得 [*] 因此,求[*]取最大值时,z的取值归结为求 f(z)=z
2
+(1一z)
2
在[0,1]上的最小值.由 [*] 得在z=1/2处f(x)在[0,1]上取最小值,故z=1/2时,水表面上升速度最大. (Ⅲ)归结求容器的容积,即 [*] 因此,灌满容器所需时间为 [*] 或由于灌满容器所需时间也就是z=1时所对应的时间t,于是在式(*)中令z=1得 [*]
解析
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考研数学二
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