2. 考研
  3. 设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成，过z轴上任意点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径的圆面．若以每秒v0体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的． (Ⅰ)写出

设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成，过z轴上任意点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径的圆面．若以每秒v0体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的． (Ⅰ)写出

admin2016-02-27  71
问题 设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成，过z轴上任意点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径的圆面．若以每秒v0体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的．
    (Ⅰ)写出注水过程中t时刻水面高度z=z(t)与相应的水体积V=V(t)之间的关系式，并求出水面高度z与时间t的函数关系；
    (Ⅱ)求水表面上升速度最大时的水面高度；
    (Ⅲ)求灌满容器所需的时间．
选项
答案要明确题中所出现的各个物理量之间的关系，并能用积分或导数表示其关系，以及它们所满足的微分方程． 解 (Ⅰ)由题设知 [*] 其中S(z)是水面D(z)的面积，且 S(z)=π[z2+(1一z)2]， 现由[*]及z(0)=0，求z(t)． 将上式两边对t求导，由复合函数求导法则得 [*] S(z)dz=v0dt， 即 [*] 两边积分并注意z(0)=0，得 [*] (Ⅱ)求z取何值时，[*]取最大值．已求得 [*] 因此，求[*]取最大值时，z的取值归结为求 f(z)=z2+(1一z)2 在[0，1]上的最小值．由 [*] 得在z=1／2处f(x)在[0，1]上取最小值，故z=1／2时，水表面上升速度最大． (Ⅲ)归结求容器的容积，即 [*] 因此，灌满容器所需时间为 [*] 或由于灌满容器所需时间也就是z=1时所对应的时间t，于是在式(*)中令z=1得 [*]
解析
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考研数学二

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