设A，B均为n阶对称矩阵，则下列结论不正确的是( )

admin2019-07-12 69

问题设A，B均为n阶对称矩阵，则下列结论不正确的是( )

选项 A、A+B是对称矩阵．
B、AB是对称矩阵．
C、A^*+B^*是对称矩阵．
D、A-2B是对称矩阵．

答案B

解析由题设条件，则
(A+B)^T=A^T+B^T=A+B，
  及
(kB)^T=kB^T=kB，
  所以有
(A-2B)^T=A^T-(2B^T)=A-2B，
  从而选项A、D的结论是正确的．
首先来证明(A^*)^T=(A^T)^*，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等．(A^*)^T在位置(i，j)的元素等于A^*在(j，i)位置的元素，且为元素a_ij的代数余子式A_ij而矩阵(A^T)^*在(i，j)位置的元素等于A^T的(j，i)位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即a_ji=a_ij则该元素仍为元素a_ij的代数余子式A_ij从而(A^T)^*=(A^T)^*=A^*，故A^*为对称矩阵，同理，B^*亦为对称矩阵．结合选项A的结论，则选项C的结论是正确的．
因为(AB)^T=B^TA^T=BA，从而选项B的结论不正确．
注意：当A，B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA．
所以应选B．

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