设A,B均为n阶对称矩阵,则下列结论不正确的是( )

admin2019-07-12  26

问题 设A,B均为n阶对称矩阵,则下列结论不正确的是(    )

选项 A、A+B是对称矩阵.
B、AB是对称矩阵.
C、A*+B*是对称矩阵.
D、A-2B是对称矩阵.

答案B

解析 由题设条件,则
    (A+B)T=AT+BT=A+B,
  及
    (kB)T=kBT=kB,
  所以有
    (A-2B)T=AT-(2BT)=A-2B,
  从而选项A、D的结论是正确的.
    首先来证明(A*)T=(AT)*,即只需证明等式两边(i,j)位置元素相等.(A*)T在位置(i,j)的元素等于A*在(j,i)位置的元素,且为元素aij的代数余子式Aij而矩阵(AT)*在(i,j)位置的元素等于AT的(j,i)位置的元素的代数余子式,因A为对称矩阵,即aji=aij则该元素仍为元素aij的代数余子式Aij从而(AT)*=(AT)*=A*,故A*为对称矩阵,同理,B*亦为对称矩阵.结合选项A的结论,则选项C的结论是正确的.
    因为(AB)T=BTAT=BA,从而选项B的结论不正确.
    注意:当A,B均为对称矩阵时,AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA.
    所以应选B.
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