设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且∫abf(x)dx=f(b).求证:在(a,b)内至少存在一点ξ,使f’(ξ)=0.

admin2017-10-23  25

问题 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且abf(x)dx=f(b).求证:在(a,b)内至少存在一点ξ,使f’(ξ)=0.

选项

答案因为f(x)在[a,b]上连续,由积分中值定理可知,在(a,b)内至少存在一点c使得 f(c)=[*]∫abf(x)dx. 这就说明f(c)=f(b),从而根据假设可得:f(x)在[c,b]上连续,在(c,b)内可导,故由罗尔定理知在(c,b)内至少存在一点ξ使得f’(ξ)=0,其中ξ∈(c,b)[*](a,b).

解析
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