求证：ex＋e—x＋2cosx＝5恰有两个根．

admin2017-08-18 39

问题求证：e^x＋e^—x＋2cosx＝5恰有两个根．

选项

答案即证f(x)＝e^x＋e^—x＋2cosx一5在(一∞，＋∞)恰有两个零点．由于 f’(x)＝e^x一e^—x一2sinx， f’’(x)＝e^x＋e^—x一2cosx＞2—2cosx≥0 (x≠0)， [*]f’(x)在(一∞，＋∞)[*]．又因f’(0)＝0[*]f(x)在(一∞，0]单调下降，在[0，＋∞)单调上升．又f(0)＝一1＜0，[*]f(x)＝＋∞，因此f(x)在(一∞，0)与(0，＋∞)各[*]唯一零点，即在(一∞，＋∞)恰有两个零点．

解析

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