设二阶常系数微分方程y’’+ay’+βy=γe2x有一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定a，β，γ和此方程的通解．

admin2014-07-06 88

问题设二阶常系数微分方程y^’’+ay^’+βy=γe^2x有一个特解为y=e^2x+(1+x)e^x，试确定a，β，γ和此方程的通解．

选项

答案由此方程的非齐次项含e^2x及特解形式知，e^2x是非齐次方程的特解，而由线性微分方程解的性质知(1+x)e^x应是其对应的齐次方程的解，故r=1为此方程的齐次方程的特征方程的二重根，故特征方程为r²-2r+1=0，由此得a=-2，β=1，故原方程为y^’’-2^’+y=ye^2x，将e^2x代入得y=1，故得原方程为y^’’-2y^’+y=e^2x，其通解为y=(C₁+C₂x)e^x+e^2x．

解析

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考研数学一

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＝()．
上半平面有一条凹曲线y＝y(x)，当x≠1时，y’(x)≠0，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数，其中Q是法线与x轴的交点，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行，求y(x)的表达式．
设f(x)在[a，b]上二阶连续可导，f(a)＝f(b)＝0，f’b(a)＞0，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f"(ξ)＜0．
设曲线y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y’－y=(4－6x)e－x的一个特解，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于x轴．(Ⅰ)求曲线y=y(x)的表达式；(Ⅱ)求曲线y=y(x)到x轴的最大距离；(Ⅲ)计算积分∫0+∞y(x)dx．
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当x→0时，f(x)=ax3+bx与g(x)=∫0sinx(－1)dt是等价无穷小，则（）。
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已知两个线性方程组同解，求m，n，t．
A、Yes,isn’tit?B、Neitheritis.C、Soisit.D、No,ofcourse.A

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