2. 考研
  3. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从正态分布N(0，1)，则( )．

设随机变量X与Y相互独立，且均服从正态分布N(0，1)，则( )．

admin2019-06-25  19
问题 设随机变量X与Y相互独立，且均服从正态分布N(0，1)，则(    )．
选项 A、P(X＋Y≥0)＝1／4
B、P(X—Y≥0)＝1／4
C、P(max(X，Y)≥0)＝1／4
D、P(min(X，Y)≥0)＝1／4
答案D
解析 首先求出X＋Y与X—Y的分布，如果X＋Y～N(μ，σ2)，则P(X＋Y≤μ)＝1／2这个结论经常用到．求与max(X，Y)或min(X，Y)有关的概率常用下述事件分解法求之：
｛max(X，Y)≥c｝＝｛X≥c｝＋｛Y≥c｝，
｛min(X，Y)≤c｝＝｛X≤c｝∩｛{Y≤c｝．
解一  记事件A＝｛X≥0｝，B＝｛Y≥0｝，则A与B相互独立，且
P(A)＝P(B)＝
故P(max(X，Y)≥0)＝P(｛X≥0｝∪｛Y≥0｝)

因X，Y独立，且X～N(0，1)，Y～N(0，1)，
故X＋Y～N(0，2)，X一y～N(0，2)，
于是    P(x＋Y≤0)＝．
因此    P(x＋Y≥0)＝1一P(x＋Y＜0)＝1一
因而(A)、(B)、(C)均不对，仅(D)入选．
解二  P(min(X，Y)≥0)＝P(｛X≥0｝∩｛Y≥0｝)
       ＝P(AB)＝P(A)P(B)
        ＝(1／2)(1／2)＝1／4．
仅(D)入选．
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考研数学三

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