设随机变量X与Y相互独立,且均服从正态分布N(0,1),则( ).

admin2019-06-25  18

问题 设随机变量X与Y相互独立,且均服从正态分布N(0,1),则(    ).

选项 A、P(X+Y≥0)=1/4
B、P(X—Y≥0)=1/4
C、P(max(X,Y)≥0)=1/4
D、P(min(X,Y)≥0)=1/4

答案D

解析 首先求出X+Y与X—Y的分布,如果X+Y~N(μ,σ2),则P(X+Y≤μ)=1/2这个结论经常用到.求与max(X,Y)或min(X,Y)有关的概率常用下述事件分解法求之:
{max(X,Y)≥c}={X≥c}+{Y≥c},
{min(X,Y)≤c}={X≤c}∩{{Y≤c}.
解一  记事件A={X≥0},B={Y≥0},则A与B相互独立,且
P(A)=P(B)=
故P(max(X,Y)≥0)=P({X≥0}∪{Y≥0})

因X,Y独立,且X~N(0,1),Y~N(0,1),
故X+Y~N(0,2),X一y~N(0,2),
于是    P(x+Y≤0)=
因此    P(x+Y≥0)=1一P(x+Y<0)=1一
因而(A)、(B)、(C)均不对,仅(D)入选.
解二  P(min(X,Y)≥0)=P({X≥0}∩{Y≥0})
       =P(AB)=P(A)P(B)
        =(1/2)(1/2)=1/4.
仅(D)入选.
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