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已知函数y=y(x)在任意点x处的增量,其中α是△x(Ax→0)的高阶无穷小,且y(0)=π,则y(1)等于
已知函数y=y(x)在任意点x处的增量,其中α是△x(Ax→0)的高阶无穷小,且y(0)=π,则y(1)等于
admin
2021-01-19
33
问题
已知函数y=y(x)在任意点x处的增量
,其中α是△x(Ax→0)的高阶无穷小,且y(0)=π,则y(1)等于
选项
A、
.
B、2π.
C、π.
D、
.
答案
A
解析
[分析] 由题设可知函数y=y(x)在点x处可微,根据微分与导数的关系,可得
,解此可分离变量方程.
[详解] 根据微分的定义,可知函数y=y(x)在点x处可微,且由微分与导数的关系,得
,此为可分离变量方程,分离变量得业
,
两边积分得lny=arctanx+lnC,即y=Ce
arctanx
,
代入y(0)=π,得C=π,于是 y=πe
arctanx
,
,故应选(A).
[评注] 由
,根据导数定义得
.
另外,从本题可知,由函数在任意点x处的微分或导数的定义,可构造微分方程.这样可将微分或导数的定义与微分方程结合起来构造综合题型.
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考研数学二
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