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  3. 已知函数y＝y(x)在任意点x处的增量，其中α是△x(Ax→0)的高阶无穷小，且y(0)＝π，则y(1)等于

已知函数y＝y(x)在任意点x处的增量，其中α是△x(Ax→0)的高阶无穷小，且y(0)＝π，则y(1)等于

admin2021-01-19  49
问题 已知函数y＝y(x)在任意点x处的增量，其中α是△x(Ax→0)的高阶无穷小，且y(0)＝π，则y(1)等于
选项 A、．   
B、2π．   
C、π．   
D、．
答案A
解析 [分析]  由题设可知函数y＝y(x)在点x处可微，根据微分与导数的关系，可得，解此可分离变量方程．
    [详解]  根据微分的定义，可知函数y＝y(x)在点x处可微，且由微分与导数的关系，得，此为可分离变量方程，分离变量得业，
两边积分得lny＝arctanx＋lnC，即y＝Cearctanx，
代入y(0)＝π，得C＝π，于是  y＝πearctanx，，故应选(A)．
    [评注]  由，根据导数定义得
    ．
    另外，从本题可知，由函数在任意点x处的微分或导数的定义，可构造微分方程．这样可将微分或导数的定义与微分方程结合起来构造综合题型．
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考研数学二

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