已知函数f(x)在的一个原函数，且f(0)=0． (Ⅰ)求f(x)在区间上的平均值； (Ⅱ)证明f(x)在区间内存在唯一零点．

admin2017-04-24 47

问题已知函数f(x)在

的一个原函数，且f(0)=0．
(Ⅰ)求f(x)在区间

上的平均值；
(Ⅱ)证明f(x)在区间

内存在唯一零点．

选项

答案(Ⅰ)f(x)在区间[*]上的平均值 [*] (Ⅱ)由题意，得f’(x)=[*] 当0＜x＜[*]时，因为f’(x)＜0，所以f(x)＜f(0)=0，故f(x)在[*]＜0．由积分中值定理，存在x₀∈[*]时，f(x)＜0，所以x₀∈[*] 根据连续函数介值定理，存在[*]时，f’(x) ＞0，所以f(x)在[*]内至多只有一个零点．综上所述，f(x)在[*]内存在唯一的零点．

解析

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