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已知函数f(x)=ln(1+x)-x。 (1)求函数f(x)的单调区间及最大值。 (2)设a>0,b>0,若b≥a, ①求证:(e为自然对数的底数), ②若g(x)=xlnx,求证:g(a)+(a+b)ln2≥g(a+b)-g(b)。
已知函数f(x)=ln(1+x)-x。 (1)求函数f(x)的单调区间及最大值。 (2)设a>0,b>0,若b≥a, ①求证:(e为自然对数的底数), ②若g(x)=xlnx,求证:g(a)+(a+b)ln2≥g(a+b)-g(b)。
admin
2017-03-29
53
问题
已知函数f(x)=ln(1+x)-x。
(1)求函数f(x)的单调区间及最大值。
(2)设a>0,b>0,若b≥a,
①求证:
(e为自然对数的底数),
②若g(x)=xlnx,求证:g(a)+(a+b)ln2≥g(a+b)-g(b)。
选项
答案
(1)函数f(x)的定义域为(-1,+∞)。f’(x)=[*]-1。令f’(x)=0,得x=0。所以(0,+∞)为函数f(x)的减区间,(-1,0)为函数f(x)的增区间。由此得f(x)在x=0处取得最大值,为f(0)=0。 (2)①由函数区间可知,函数f(x)的最大值在x=0处取得为0。 所以f(x)≤0,ln(1+x)-x≤0,假设x=[*],则有 [*] ②g"(x)=[*],当x>0时,该函数在(0,+∞)上是凹的,所以 当a≠b时,不妨设a<b,于是:[*],从而 [*] 当a=b时,显而易见取等号,于是可得:g(a)+(a+b)ln2≥g(a+b)-g(b)。
解析
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