已知函数f(x)=ln(1+x)－x。 (1)求函数f(x)的单调区间及最大值。 (2)设a＞0，b＞0，若b≥a， ①求证：(e为自然对数的底数)， ②若g(x)=xlnx，求证：g(a)+(a+b)ln2≥g(a+b)－g(b)。

admin2017-03-29 39

问题已知函数f(x)=ln(1+x)－x。
(1)求函数f(x)的单调区间及最大值。
(2)设a＞0，b＞0，若b≥a，
①求证：

(e为自然对数的底数)，
②若g(x)=xlnx，求证：g(a)+(a+b)ln2≥g(a+b)－g(b)。

选项

答案(1)函数f(x)的定义域为(－1，+∞)。f’(x)=[*]－1。令f’(x)=0，得x=0。所以(0，+∞)为函数f(x)的减区间，(－1，0)为函数f(x)的增区间。由此得f(x)在x=0处取得最大值，为f(0)=0。 (2)①由函数区间可知，函数f(x)的最大值在x=0处取得为0。所以f(x)≤0，ln(1+x)－x≤0，假设x=[*]，则有 [*] ②g"(x)=[*]，当x＞0时，该函数在(0，+∞)上是凹的，所以当a≠b时，不妨设a＜b，于是：[*]，从而 [*] 当a=b时，显而易见取等号，于是可得：g(a)+(a+b)ln2≥g(a+b)－g(b)。

解析

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已知函数f(x)=ln(1+x)－x。 (1)求函数f(x)的单调区间及最大值。 (2)设a＞0，b＞0，若b≥a， ①求证：(e为自然对数的底数)， ②若g(x)=xlnx，求证：g(a)+(a+b)ln2≥g(a+b)－g(b)。

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