2. 考研
  3. 设f(x)连续，且∫0xtf(2x-t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx．

设f(x)连续，且∫0xtf(2x-t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx．

admin2022-06-04  46
问题 设f(x)连续，且∫0xtf(2x-t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx．
选项
答案令2x-t=u，由已知，有 ∫0xtf(2x-t)dt=-∫2xx(2x-u)f(u)du=-2x∫2xxf(u)du+∫2xxuf(u)du 等式∫0xtf(2x-t)dt=[*]arctanx2两边求导，得 -2∫2xxf(u)du-2x[f(x)-2f(2x)]+[xf(x)-4xf(2x)]=[*] 即 ∫2xxf(u)du=[*] 又f(1)=1，当x=1时，有∫21f(u)du=[*]，因此∫12f(x)dx=3/4．
解析
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考研数学二

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