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已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解, 证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2;
已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解, 证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2;
admin
2016-05-31
73
问题
已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解,
证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2;
选项
答案
设α
1
,α
2
,α
3
是方程组Ax=β的3个线性无关的解,其中 [*] 则有A(α
1
-α
2
)=0,A(α
1
-α
3
)=0. 因此α
1
-α
2
,α
1
-α
3
是对应齐次线性方程组Ax=0的解,且线性无关,(否则,易推出α
1
,α
2
,α
1
-α
3
线性相关,矛盾). 所以n-r(A)≥2,即4-r(A)≥2,那么r(A)≤2. 又矩阵A中有一个2阶子式[*]=-1≠0,所以r(A)≥2. 因此r(A)=2.
解析
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考研数学三
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