已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解，证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；

admin2016-05-31 91

问题已知非齐次线性方程组

有3个线性无关的解，
证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；

选项

答案设α₁，α₂，α₃是方程组Ax=β的3个线性无关的解，其中 [*] 则有A(α₁-α₂)=0，A(α₁-α₃)=0．因此α₁-α₂，α₁-α₃是对应齐次线性方程组Ax=0的解，且线性无关，(否则，易推出α₁，α₂，α₁-α₃线性相关，矛盾)．所以n-r(A)≥2，即4-r(A)≥2，那么r(A)≤2．又矩阵A中有一个2阶子式[*]=-1≠0，所以r(A)≥2．因此r(A)=2．

解析

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