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已知fn(x)满足fˊn(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数),且fn(1)=,求函数项级数之和.
已知fn(x)满足fˊn(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数),且fn(1)=,求函数项级数之和.
admin
2016-09-13
110
问题
已知f
n
(x)满足fˊ
n
(x)=f
n
(x)+x
n-1
e
x
(n为正整数),且f
n
(1)=
,求函数项级数
之和.
选项
答案
由题设条件知,函数f
n
(x)满足一阶线性非齐次微分方程 fˊ
n
(x)-f
n
(x)=x
n-1
e
x
, 其通解为f
n
(x)=e
x
([*]+C). 由条件f
n
(1)=[*]得C=0,所以,f
n
(x)=e
x
[*],于是 [*] 记S(x)=[*],容易求出其收敛域为[-1,1),且S(0)=0,当x∈(-1,1)时,求导得 Sˊ(x)=[*] 于是得S(x)=S(0)+∫
0
x
Sˊ (t)dt=∫
0
x
[*]dt=-ln(1-x). 由S(x)=-ln(1-x)在x=-1点的连续性知,上述和函数在x=-1点也成立.于是,当 -1≤x<1时,有 [*]f
n
(x)=e
x
S(x)=-e
x
ln(1-x).
解析
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考研数学三
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