设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0∈I，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)=2，求f(x)的表达式。

admin2018-03-30 15

问题设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x₀∈I，曲线y=f(x)在点(x₀，f(x₀))处的切线与直线x=x₀及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)=2，求f(x)的表达式。

选项

答案设f(x)在点(x₀，f(x₀))处的切线方程为：y－f(x₀)=f’(x₀)(x－x₀)，令y=0，得到x=－[*]+x₀，故由题意，1／2f(x₀)．(x₀－x)=4，即1／2(x₀)．[*]=4，可以转化为一阶微分方程，即y’=y²／8，可分离变量得到通解为：1／y=－[*] 即f(x)=[*]

解析

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设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0∈I，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)=2，求f(x)的表达式。

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