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设函数f(x)=sinx一∫0x(x一t)f(t)dt,其中f(x)是连续函数,求f(x)的表达式。
设函数f(x)=sinx一∫0x(x一t)f(t)dt,其中f(x)是连续函数,求f(x)的表达式。
admin
2017-01-18
20
问题
设函数f(x)=sinx一∫
0
x
(x一t)f(t)dt,其中f(x)是连续函数,求f(x)的表达式。
选项
答案
由方程f(x)=sinx一∫
0
x
(x一t)f(t)dt可知f(0)=0,且f(x)可导。 方程两边对x求导,得 f’(x)=cosx一∫
0
x
f(t)dt,且f’(0)=1, 由f(x)连续可知f’(x)可导,再对上式求导,得 f"(x)+f(x)=一sinx, 该二阶非齐次线性微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为 λ
2
+1=0. 解得λ=±i,所以齐次微分方程的通解为 F(x)=C
1
sinx+C
2
cosx, 由于i是特征方程的根,所以设特解为 f
*
(x)=x(Acosx+Bsinx), [*]
解析
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0
考研数学二
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