设F(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数F’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明不等式：F(a+b)≤F(a)+F(b)，其中常数，a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

admin2013-08-26 84

问题设F(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数F^’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明不等式：F(a+b)≤F(a)+F(b)，其中常数，a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

选项

答案当a=0时，f(0)=0，有f(a+b)=f(b)=f(a)+f(b)；当a＞0时，在[0，a]和[b，a+b]上分别应用拉格朗日中值定理有 [*] 显然0＜ε₁＜a≤b＜ε₂＜a+b≤c，因f^’(x)在[0，c]上单调减少，故f^’(ε₂)≤f^’(ε₁)，从而有[*] 总之，当0≤a≤b≤a+b≤c时，f(a+b)≤f(a)+f(b)总成立．

解析

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考研数学三

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