设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y｜x2+y2－xy=≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75－x2－y2+xy。现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说

admin2018-12-27 66

问题设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y｜x²+y²－xy=≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75－x²－y²+xy。
现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在D的边界曲线x²+y²－xy=75上找出使上题中的g(x，y)达到最大值的点，试确定攀登起点的位置。

选项

答案求g(x，y)在条件x²+y²－xy－75=0下的最大值点与求g²(x，y)=(y－2x)²+(x－2y)²=5x²+5y²=8xy在条件x²+y²－xy－75=0下的最大值点等价。这是求解条件最值问题，用拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数 L(x，y，λ)=5x²+5y²－8xy+λ(x²+y²－xy－75)，则有 [*] 联立(1)，(2)解得y=－x，λ=－6或y=x，λ=－2。若y=－x，则由(3)式得3x²=75，即x=±5，[*] 若y=x，则由(3)式得x²=75，即[*] 于是得可能的条件极值点 [*] 现比较f(x，y)=g²(x，y)=5x²+5y²—8xy在这些点的函数值，有 f(M₁)=f(M₂)=450，f(M₃)=f(M₄)=150。因为实际问题存在最大值，而最大值又只可能在M₁，M₂，M₃，M₄中取到。所以g²(x，y)在M₁，M₂取得边界线D上的最大值，即M₁，M₂可作为攀登的起点。

解析

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考研数学一

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