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  3. 设函数f(x)在[a，+∞)上连续，f’’(x)在(a，+∞)内存在且大于零．记F(x)=．证明：F(x)在(a，+∞)内单调增加．

设函数f(x)在[a，+∞)上连续，f’’(x)在(a，+∞)内存在且大于零．记F(x)=．证明：F(x)在(a，+∞)内单调增加．

admin2016-10-20  80
问题 设函数f(x)在[a，+∞)上连续，f’’(x)在(a，+∞)内存在且大于零．记F(x)=．证明：F(x)在(a，+∞)内单调增加．
选项
答案(1)证明F’(x)＞0(x＞a)．由题设条件，有 [*] 由拉格朗日中值定理知，存在ξ(a＜ξ＜x)使得 [*] 由f’’(x)＞0，可知f’(x)在(a，+∞)内单调增加．因此，对于任何满足a＜ξ＜x的x和ξ，有f’(x)＞f’(ξ)．又x-a＞0，从而由②可知F’(x)＞0，于是F(x)是单调增加的． (2)由①式有[*]，其中 φ(x)=f’(x)(x-a)-f(x)+f(a)(x＞a)，φ(a)=0． 由φ’’(x)=f’’(x)(x-a)＞0，可知φ(x)在(a，+∞)上单调上升，从而当x＞a时，φ(x)＞φ(a)=0，于是F’(x)=[*]，所以F(x)单调上升．
解析 要证F(x)在(a，+∞)内单调增加，只需证F’(x)＞0，为此需先求出F’(x)．条件“f”(x)在(a，+∞)内存在且大于零”隐含着f’(x)在(a，+∞)上单调上升，因此要充分利用这一信息来证明F’(x)＞0．
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考研数学三

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